Question: In alcuni telefilm polizieschi, si sente dire "il criminale ha questa insoluta caratteristica... trovare questa persona e avrete il vostro uomo". Supponiamo che ogni dato individuo abbia questa insoluta caratteristica con probabilità $1.4 \times 10^{-6}$, indipendentemente dagli altri individui, e che la città in questione abbia 1 milioni di abitanti. Supponendo che l'ispettore trovi una tale persona, approssimare con una opportuna variabile discreta la probabilità che ce ne sia almeno un'altra.
1. **Enunciato del problema:**
Supponiamo che ogni individuo in una città di 1 milione di abitanti abbia una caratteristica insolita con probabilità $p = 1.4 \times 10^{-6}$, indipendentemente dagli altri.
L'ispettore ha trovato una persona con questa caratteristica. Vogliamo approssimare la probabilità che ci sia almeno un'altra persona con la stessa caratteristica.
2. **Modello probabilistico:**
Definiamo la variabile casuale $X$ come il numero di persone con la caratteristica insolita nella città.
Poiché ogni individuo ha la caratteristica con probabilità $p$ indipendentemente, $X$ segue una distribuzione binomiale:
$$X \sim \mathrm{Binomial}(n=10^6, p=1.4 \times 10^{-6})$$
3. **Approssimazione con distribuzione di Poisson:**
Poiché $n$ è grande e $p$ è molto piccolo, possiamo approssimare $X$ con una variabile di Poisson con parametro $$\lambda = np = 10^6 \times 1.4 \times 10^{-6} = 1.4$$
Quindi:
$$X \approx \mathrm{Poisson}(\lambda=1.4)$$
4. **Calcolo della probabilità richiesta:**
L'ispettore ha già trovato una persona con la caratteristica, quindi sappiamo che $X \geq 1$.
Vogliamo la probabilità che ci sia almeno un'altra persona, cioè:
$$P(X \geq 2 \mid X \geq 1) = \frac{P(X \geq 2)}{P(X \geq 1)}$$
5. **Calcolo delle probabilità di Poisson:**
$$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$$
$$P(X=0) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^0}{0!} = e^{-1.4}$$
$$P(X=1) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^1}{1!} = e^{-1.4} \times 1.4$$
6. **Sostituzione e calcolo:**
$$P(X \geq 2) = 1 - e^{-1.4} - 1.4 e^{-1.4} = 1 - e^{-1.4}(1 + 1.4)$$
$$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - e^{-1.4}$$
7. **Risultato finale:**
$$P(X \geq 2 \mid X \geq 1) = \frac{1 - e^{-1.4}(1 + 1.4)}{1 - e^{-1.4}}$$
8. **Interpretazione:**
Questa probabilità indica la chance che, dato che è stata trovata una persona con la caratteristica, ce ne sia almeno un'altra.
**Risposta:**
$$\boxed{P = \frac{1 - e^{-1.4}(1 + 1.4)}{1 - e^{-1.4}}}$$