Question: In alcuni telefilm polizieschi, si sente dire "il criminale ha questa inusuale caratteristica... trovare questa persona e avrete il vostro uomo". Supponiamo che ogni dato individuo abbia questa inusuale caratteristica con probabilità $1.4 \times 10^{-6}$, indipendentemente dagli altri individui, e che la città in questione abbia 1 milioni di abitanti. Supponendo che l'ispettore trovi una tale persona, approssimare con una opportuna variabile discreta la probabilità che ce ne sia almeno un'altra.
1. **Enunciato del problema:**
Supponiamo che ogni individuo in una città di 1 milione di abitanti abbia una caratteristica rara con probabilità $p = 1.4 \times 10^{-6}$. L'ispettore ha trovato una persona con questa caratteristica. Vogliamo approssimare la probabilità che ci sia almeno un'altra persona con la stessa caratteristica.
2. **Modello probabilistico:**
Definiamo la variabile casuale $X$ come il numero di persone con la caratteristica rara nella città.
Poiché ogni individuo ha la caratteristica con probabilità $p$ indipendentemente dagli altri, $X$ segue una distribuzione binomiale:
$$X \sim \mathrm{Binomial}(n=10^6, p=1.4 \times 10^{-6})$$
3. **Condizione data:**
L'ispettore ha trovato una persona con la caratteristica, quindi sappiamo che $X \geq 1$.
Vogliamo calcolare la probabilità che ci sia almeno un'altra persona, cioè:
$$P(X \geq 2 \mid X \geq 1) = \frac{P(X \geq 2)}{P(X \geq 1)}$$
4. **Calcolo delle probabilità:**
Calcoliamo $P(X \geq 1)$ e $P(X \geq 2)$ usando la distribuzione binomiale:
$$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - (1-p)^n$$
$$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - (1-p)^n - n p (1-p)^{n-1}$$
5. **Approssimazione di Poisson:**
Poiché $n$ è grande e $p$ è molto piccolo, possiamo approssimare $X$ con una variabile di Poisson con parametro $$\lambda = n p = 10^6 \times 1.4 \times 10^{-6} = 1.4$$
Quindi:
$$P(X=k) \approx e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$$
6. **Calcolo con la distribuzione di Poisson:**
$$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - e^{-1.4}$$
$$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - e^{-1.4} - e^{-1.4} \times 1.4 = 1 - e^{-1.4}(1 + 1.4)$$
7. **Calcolo finale della probabilità condizionata:**
$$P(X \geq 2 \mid X \geq 1) = \frac{1 - e^{-1.4}(1 + 1.4)}{1 - e^{-1.4}}$$
8. **Valutazione numerica:**
Calcoliamo $e^{-1.4} \approx 0.2466$ (approssimato):
$$P(X \geq 1) = 1 - 0.2466 = 0.7534$$
$$P(X \geq 2) = 1 - 0.2466 \times 2.4 = 1 - 0.5918 = 0.4082$$
Quindi:
$$P(X \geq 2 \mid X \geq 1) = \frac{0.4082}{0.7534} \approx 0.5417$$
**Risposta:** La probabilità che ci sia almeno un'altra persona con la caratteristica rara, dato che l'ispettore ne ha trovata una, è circa $0.54$ o 54%.