Question: In una zona sismica del pianeta, in un mese ci sono in media 9 terremoti di magnitudo maggiore di 4 (i mesi sono assunti di uguale durata). Se durante due mesi se ne sono verificati 19, qual è la probabilità che 8 di questi si siano verificati nel primo mese? Troncare a 4 decimali.
1. **Enunciato del problema:**
In una zona sismica, in un mese si verificano in media $9$ terremoti di magnitudo maggiore di $4$. In due mesi si sono verificati $19$ terremoti. Vogliamo calcolare la probabilità che esattamente $8$ di questi $19$ terremoti siano avvenuti nel primo mese.
2. **Modello probabilistico:**
Poiché i mesi sono di uguale durata e i terremoti sono eventi indipendenti e distribuiti uniformemente nel tempo, la distribuzione del numero di terremoti nel primo mese, dato che in due mesi ce ne sono stati $19$, segue una distribuzione binomiale:
$$X \sim \text{Binomiale}(n=19, p=0.5)$$
perché ogni terremoto ha probabilità $p=\frac{1}{2}$ di essere nel primo mese.
3. **Formula della probabilità binomiale:**
$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
Dove:
- $n=19$
- $k=8$
- $p=0.5$
4. **Calcolo del coefficiente binomiale:**
$$\binom{19}{8} = \frac{19!}{8! \cdot 11!}$$
5. **Calcolo della probabilità:**
$$P(X=8) = \binom{19}{8} (0.5)^8 (0.5)^{11} = \binom{19}{8} (0.5)^{19}$$
6. **Calcolo numerico:**
Calcoliamo $\binom{19}{8}$:
$$\binom{19}{8} = 75582$$
Quindi:
$$P(X=8) = 75582 \times (0.5)^{19} = 75582 \times \frac{1}{524288} \approx 0.1441$$
7. **Risposta finale:**
La probabilità che esattamente $8$ terremoti su $19$ si siano verificati nel primo mese è circa **0.1441** (troncata a 4 decimali).