Probabilita Terremoti Aaf6Ac

1. **Enunciato del problema:** In una zona sismica, in un mese si verificano in media $9$ terremoti di magnitudo maggiore di $4$. In due mesi si sono verificati $19$ terremoti. Si vuole calcolare la probabilità che $8$ di questi $19$ terremoti siano avvenuti nel primo mese. 2. **Modello probabilistico:** Poiché i mesi sono di uguale durata e i terremoti sono eventi rari e indipendenti, il numero di terremoti in ogni mese segue una distribuzione di Poisson con parametro medio $\\lambda = 9$. 3. **Distribuzione condizionata:** Dato che in due mesi si sono verificati $19$ terremoti, la distribuzione del numero di terremoti nel primo mese, condizionata al totale di $19$, è una distribuzione binomiale: $$X \sim \text{Binomiale}(n=19, p=\frac{9}{9+9}=\frac{1}{2})$$ perché la probabilità che un terremoto cada nel primo mese è proporzionale alla durata del mese rispetto ai due mesi totali. 4. **Formula della probabilità binomiale:** $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ Dove: - $n=19$ - $k=8$ - $p=\frac{1}{2}$ 5. **Calcolo della probabilità:** $$P(X=8) = \binom{19}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^8 \left(\frac{1}{2}\right)^{11} = \binom{19}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^{19}$$ 6. **Calcolo del coefficiente binomiale:** $$\binom{19}{8} = \frac{19!}{8! \cdot 11!} = 75582$$ 7. **Calcolo finale:** $$P(X=8) = 75582 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{19} = 75582 \times \frac{1}{524288} \approx 0.1441$$ **Risposta:** La probabilità che $8$ terremoti su $19$ si siano verificati nel primo mese è circa **0.1441** (troncata a 4 decimali).