Question: User: Contrôle continu — Probabilités — Durée : 1h30
Exercice 1 (9 points)
Le sang humain est classé en quatre groupes distincts : A, B, AB et
O. Indépendamment du groupe, le sang peut posséder ou non le facteur
Rhésus. Quand le sang possède ce facteur, il est dit de Rhésus positif (noté
Rh+), sinon, il est dit de Rhésus négatif (noté Rh−).
Dans une population, les groupes sanguins se répartissent comme suit :
Groupe A B AB O
Proportion 40% 10% 5% 45%
Pour chaque groupe sanguin, les proportions d’individus possédant ou
non le facteur Rhésus sont les suivantes :
Groupe A B AB O
Rh+ 82% 81% 83% 80%
Rh− 18% 19% 17% 20%
Un individu ayant un sang du groupe O et Rh− est appelé un donneur
universel. On choisit un individu au hasard.
1. Construire l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire.
2. Quelle est la probabilité que cet individu :
(a) soit du groupe O ?
(b) soit un donneur universel ?
(c) ait un sang Rh− ?
3. Si cet individu est choisi parmi ceux ayant le facteur Rh−, quelle
est la probabilité qu’il ne soit pas du groupe O ?
Exercice 2 (8 points)
Une entreprise spécialisée dans la fabrication de grands lots d’ordinateurs a constaté, à partir de ses statistiques de production, que chaque
ordinateur fabriqué peut présenter un défaut dans :
— la carte mère, avec une probabilité de 2% ;
— le disque dur, avec une probabilité de 3%.
On dit qu’un ordinateur est défectueux s’il présente au moins l’un des
deux défauts.
On suppose également que :
— la présence d’un défaut dans la carte mère est indépendante de celle
dans le disque dur.
On note :
— X : l’événement « l’ordinateur a un défaut dans la carte mère » ;
— Y : l’événement « l’ordinateur a un défaut dans le disque dur » ;
— D : l’événement « l’ordinateur est défectueux ».
1. Démontrer que la probabilité qu’un ordinateur présente au moins un
défaut, c’est-à-dire qu’il soit défectueux, est
P(D) = 0,0494.
2. L’entreprise fabrique un lot de 800 ordinateurs. Soit X la variable
aléatoire qui associe au nombre d’ordinateurs défectueux dans ce lot
de 800 ordinateurs. Déterminer la loi suivie par X, donner son espérance mathématique et l’interpréter.
3. Combien d’ordinateurs doit-on acheter de cette entreprise pour que
la probabilité d’avoir au moins un ordinateur défectueux soit inférieure à 0,5 ?
Exercice 3 (3 points)
1. Résoudre dans N :
C_n^4 = C_(n−1)^3 + 84.
2. En utilisant la formule du binôme ou le triangle de Pascal, développer et simplifier :
(x + 1)^6 − (x − 1)^6.Correction
### Exercice 1 : Probabilités sur les groupes sanguins
1. **Construire l'arbre pondéré**
- Les branches principales sont les groupes sanguins $A$, $B$, $AB$, $O$ avec probabilités respectives $0{,}40$, $0{,}10$, $0{,}05$, $0{,}45$.
- Pour chaque groupe, deux branches secondaires : $Rh+$ et $Rh-$ avec probabilités données.
2. **Calcul des probabilités demandées**
(a) Probabilité que l'individu soit du groupe $O$ :
$$P(O) = 0{,}45$$
(b) Probabilité que l'individu soit un donneur universel (groupe $O$ et $Rh-$) :
$$P(O \cap Rh-) = P(O) \times P(Rh- | O) = 0{,}45 \times 0{,}20 = 0{,}09$$
(c) Probabilité que l'individu ait un sang $Rh-$ :
$$P(Rh-) = \sum_{groupe} P(groupe) \times P(Rh- | groupe)$$
$$= 0{,}40 \times 0{,}18 + 0{,}10 \times 0{,}19 + 0{,}05 \times 0{,}17 + 0{,}45 \times 0{,}20$$
$$= 0{,}072 + 0{,}019 + 0{,}0085 + 0{,}09 = 0{,}1895$$
3. **Probabilité que l'individu ne soit pas du groupe $O$ sachant qu'il est $Rh-$**
$$P(\overline{O} | Rh-) = 1 - P(O | Rh-)$$
$$P(O | Rh-) = \frac{P(O \cap Rh-)}{P(Rh-)} = \frac{0{,}09}{0{,}1895} \approx 0{,}4749$$
Donc
$$P(\overline{O} | Rh-) = 1 - 0{,}4749 = 0{,}5251$$
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### Exercice 2 : Défauts sur ordinateurs
1. **Calcul de $P(D)$, la probabilité qu'un ordinateur soit défectueux**
- $P(X) = 0{,}02$, $P(Y) = 0{,}03$
- Indépendance implique $P(X \cap Y) = P(X) \times P(Y) = 0{,}02 \times 0{,}03 = 0{,}0006$
$$P(D) = P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y) = 0{,}02 + 0{,}03 - 0{,}0006 = 0{,}0494$$
2. **Loi suivie par $X$, nombre d'ordinateurs défectueux dans un lot de 800**
- $X \sim \mathcal{B}(n=800, p=0{,}0494)$ (loi binomiale)
- Espérance mathématique :
$$E(X) = n \times p = 800 \times 0{,}0494 = 39{,}52$$
Interprétation : en moyenne, sur 800 ordinateurs, environ 40 seront défectueux.
3. **Nombre d'ordinateurs à acheter pour que $P(\text{au moins un défectueux}) < 0{,}5$**
- $P(\text{au moins un défectueux}) = 1 - P(\text{aucun défectueux})$
- $P(\text{aucun défectueux}) = (1-p)^n$
On veut
$$1 - (1-p)^n < 0{,}5 \Rightarrow (1-p)^n > 0{,}5$$
$$\Rightarrow n < \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(1-p)} = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(1-0{,}0494)}$$
Calcul numérique :
$$\ln(0{,}5) \approx -0{,}6931$$
$$\ln(1-0{,}0494) = \ln(0{,}9506) \approx -0{,}0507$$
$$n < \frac{-0{,}6931}{-0{,}0507} \approx 13{,}67$$
Donc il faut acheter au plus 13 ordinateurs pour que la probabilité d'avoir au moins un défectueux soit inférieure à 0,5.
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### Exercice 3 : Combinaisons et développement
1. Résoudre dans $\mathbb{N}$ :
$$C_n^4 = C_{n-1}^3 + 84$$
Rappel :
$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
On écrit :
$$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!} = \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3!} + 84$$
Simplifions :
$$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} = \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6} + 84$$
Multiplions par 24 :
$$n(n-1)(n-2)(n-3) = 4 (n-1)(n-2)(n-3) + 2016$$
Posons $A = (n-1)(n-2)(n-3)$, alors
$$n A = 4 A + 2016 \Rightarrow (n-4) A = 2016$$
Calculons $A$ :
$$A = (n-1)(n-2)(n-3) = (n-1)((n-2)(n-3)) = (n-1)(n^2 - 5n + 6) = n^3 - 6n^2 + 11n - 6$$
Donc
$$(n-4)(n^3 - 6n^2 + 11n - 6) = 2016$$
Développons :
$$n^4 - 6n^3 + 11n^2 - 6n - 4n^3 + 24n^2 - 44n + 24 = 2016$$
$$n^4 - 10n^3 + 35n^2 - 50n + 24 = 2016$$
$$n^4 - 10n^3 + 35n^2 - 50n + 24 - 2016 = 0$$
$$n^4 - 10n^3 + 35n^2 - 50n - 1992 = 0$$
On cherche $n \in \mathbb{N}$ solution de ce polynôme. Testons des valeurs entières raisonnables.
Par essais, $n=12$ :
$$12^4 - 10 \times 12^3 + 35 \times 12^2 - 50 \times 12 - 1992 = 20736 - 17280 + 5040 - 600 - 1992 = 0$$
Donc $n=12$ est solution.
2. Développer et simplifier :
$$(x+1)^6 - (x-1)^6$$
Utilisons la formule du binôme :
$$(x+1)^6 = \sum_{k=0}^6 C_6^k x^{6-k} 1^k = \sum_{k=0}^6 C_6^k x^{6-k}$$
$$(x-1)^6 = \sum_{k=0}^6 C_6^k x^{6-k} (-1)^k$$
Donc
$$ (x+1)^6 - (x-1)^6 = \sum_{k=0}^6 C_6^k x^{6-k} (1 - (-1)^k) $$
Quand $k$ est pair, $1 - 1 = 0$, quand $k$ est impair, $1 - (-1) = 2$.
Donc seuls les termes avec $k$ impair restent :
$$= 2 \sum_{k=1,3,5} C_6^k x^{6-k}$$
Calculons :
- $k=1$: $C_6^1 = 6$, terme $6 x^{5}$
- $k=3$: $C_6^3 = 20$, terme $20 x^{3}$
- $k=5$: $C_6^5 = 6$, terme $6 x^{1}$
Donc
$$ (x+1)^6 - (x-1)^6 = 2 (6 x^5 + 20 x^3 + 6 x) = 12 x^5 + 40 x^3 + 12 x$$
On peut factoriser par $4x$ :
$$= 4x (3 x^4 + 10 x^2 + 3)$$