Question: El departamento de rayos X de un hospital tiene dos máquinas, $A$ y $B$, que pueden utilizarse para revelar radiografías. La capacidad de procesamiento diaria de estas máquinas es $A=80$ y $B=100$ radiografías. El departamento debe planear procesar al menos 150 radiografías por día. Los costos de operación por radiografía son 4 para la máquina $A$ y 3 para la máquina $B$. ¿Cuántas radiografías por día debe procesar cada máquina para minimizar costos? Hazlo con tabla de valores y tambien un modelo grafico
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos determinar cuántas radiografías debe procesar cada máquina $A$ y $B$ para minimizar el costo total, dado que:
- Capacidad máxima de $A$ es 80 radiografías.
- Capacidad máxima de $B$ es 100 radiografías.
- Deben procesarse al menos 150 radiografías en total.
- Costo por radiografía: 4 para $A$, 3 para $B$.
2. **Definición de variables:**
Sea $x$ el número de radiografías procesadas por la máquina $A$.
Sea $y$ el número de radiografías procesadas por la máquina $B$.
3. **Restricciones:**
$$
\begin{cases}
0 \leq x \leq 80 \\
0 \leq y \leq 100 \\
x + y \geq 150
\end{cases}
$$
4. **Función objetivo (costo total):**
$$C = 4x + 3y$$
Queremos minimizar $C$ sujeto a las restricciones.
5. **Modelo gráfico:**
- La restricción $x + y \geq 150$ se puede escribir como $y \geq 150 - x$.
- Los valores posibles de $x$ están entre 0 y 80.
- Los valores posibles de $y$ están entre 0 y 100.
6. **Tabla de valores para $x$ y $y$ que cumplen $x + y \geq 150$:**
| $x$ | $y = 150 - x$ | Costo $C = 4x + 3y$ |
|-----|---------------|---------------------|
| 50 | 100 | $4(50) + 3(100) = 200 + 300 = 500$ |
| 60 | 90 | $4(60) + 3(90) = 240 + 270 = 510$ |
| 70 | 80 | $4(70) + 3(80) = 280 + 240 = 520$ |
| 80 | 70 | $4(80) + 3(70) = 320 + 210 = 530$ |
7. **Análisis:**
- Para $x=50$, $y=100$ el costo es 500.
- Para $x=60$, $y=90$ el costo es 510.
- Para $x=70$, $y=80$ el costo es 520.
- Para $x=80$, $y=70$ el costo es 530.
El costo mínimo se obtiene en $x=50$, $y=100$.
8. **Conclusión:**
Para minimizar costos, la máquina $A$ debe procesar 50 radiografías y la máquina $B$ 100 radiografías por día.
9. **Modelo gráfico (descripción):**
- La región factible está limitada por $x \leq 80$, $y \leq 100$, y $x + y \geq 150$.
- El punto óptimo está en la intersección de $y=100$ y $x + y = 150$, es decir, en $(50, 100)$.