Question: El departamento de rayos X de un hospital tiene dos máquinas, $A$ y $B$, que pueden utilizarse para revelar radiografías. La capacidad de procesamiento diaria de estas máquinas es $A=80$ y $B=100$ radiografías. El departamento debe planear procesar al menos $150$ radiografías por día. Los costos de operación por radiografía son 4 para la máquina $A$ y 3 para la máquina $B$. ¿Cuántas radiografías por día debe procesar cada máquina para minimizar costos?

1. **Planteamiento del problema:** Queremos determinar cuántas radiografías debe procesar cada máquina $A$ y $B$ para minimizar el costo total, dado que: - Capacidad máxima de $A$ es $80$ radiografías. - Capacidad máxima de $B$ es $100$ radiografías. - Se deben procesar al menos $150$ radiografías en total. - Costo por radiografía: $4$ para $A$ y $3$ para $B$. 2. **Definición de variables:** Sea $x$ el número de radiografías procesadas por la máquina $A$ y $y$ el número procesadas por la máquina $B$. 3. **Restricciones:** - $x \leq 80$ (capacidad de $A$) - $y \leq 100$ (capacidad de $B$) - $x + y \geq 150$ (mínimo total requerido) - $x \geq 0$, $y \geq 0$ (no se pueden procesar cantidades negativas) 4. **Función objetivo (costo total):** $$ C = 4x + 3y $$ Queremos minimizar $C$. 5. **Estrategia para minimizar costos:** Como el costo por radiografía en $B$ es menor que en $A$, conviene procesar la mayor cantidad posible en $B$ para reducir costos. 6. **Evaluación de casos:** - Si $y = 100$ (máximo en $B$), entonces $x$ debe ser al menos $150 - 100 = 50$ para cumplir la restricción total. - Verificamos que $x = 50 \leq 80$, es válido. 7. **Costo en este caso:** $$ C = 4(50) + 3(100) = 200 + 300 = 500 $$ 8. **Verificación de otros casos:** - Si procesamos menos en $B$, por ejemplo $y=90$, entonces $x \geq 60$. - Costo sería $4(60) + 3(90) = 240 + 270 = 510$, mayor que $500$. 9. **Conclusión:** Para minimizar costos, se deben procesar $x=50$ radiografías en la máquina $A$ y $y=100$ en la máquina $B$. **Respuesta final:** La máquina $A$ debe procesar $50$ radiografías y la máquina $B$ debe procesar $100$ radiografías para minimizar costos y cumplir con la demanda.