Question: User: Muebles modernos arma dos clases de alacenas a partir de madera cortada: normal y de lujo. Las alacenas normales se pintan de blanco, y las de lujo se barnizan. La pintura y el barnizado se hacen en un departamento. El departamento de ensamble puede producir un máximo de 200 alacenas normales y 150 de lujo por día. Para barnizar una unidad de lujo se necesita el doble de tiempo que para pintar una normal. Si el departamento de pintura y barnizado sólo se dedicara a unidades de lujo, podría terminar 180 diarias. La empresa estima que las utilidades unitarias son 100 por alacena normal y 140 por alacena de lujo. Formule el problema de programación lineal que permita determinar el programa óptimo de producción diaria y resuélvalo en forma gráfica.

1. **Planteamiento del problema:** Queremos determinar cuántas alacenas normales ($x$) y de lujo ($y$) debe producir la empresa para maximizar la utilidad diaria. 2. **Variables:** - $x$: número de alacenas normales producidas por día. - $y$: número de alacenas de lujo producidas por día. 3. **Restricciones:** - El departamento de ensamble puede producir máximo 200 alacenas normales: $$x \leq 200$$ - El departamento de ensamble puede producir máximo 150 alacenas de lujo: $$y \leq 150$$ - El tiempo de pintura y barnizado limita la producción. Pintar una normal toma tiempo $t$, barnizar una de lujo toma $2t$. Si solo barnizan lujo, pueden hacer 180 al día, entonces el tiempo total disponible es $$180 \times 2t = 360t$$. El tiempo usado para $x$ normales y $y$ lujosas es $$t x + 2t y \leq 360t$$. Dividiendo por $t$ (que es positivo): $$x + 2y \leq 360$$ 4. **Función objetivo:** Maximizar la utilidad total: $$Z = 100x + 140y$$ 5. **Problema de programación lineal:** Maximizar $$Z = 100x + 140y$$ Sujeto a: $$x \leq 200$$ $$y \leq 150$$ $$x + 2y \leq 360$$ $$x \geq 0, y \geq 0$$ 6. **Solución gráfica:** - Graficamos las restricciones en el plano $xy$. - Encontramos la región factible. - Evaluamos $Z$ en los vértices de la región factible. 7. **Vértices de la región factible:** - Punto A: $(0,0)$ - Punto B: $(200,0)$ - Punto C: Intersección de $x=200$ y $x+2y=360$: $$200 + 2y = 360 \Rightarrow 2y = 160 \Rightarrow y=80$$ Punto C: $(200,80)$ - Punto D: Intersección de $y=150$ y $x+2y=360$: $$x + 2(150) = 360 \Rightarrow x + 300 = 360 \Rightarrow x=60$$ Punto D: $(60,150)$ - Punto E: $(0,150)$ 8. **Evaluamos $Z$ en cada vértice:** - $Z_A = 100(0) + 140(0) = 0$ - $Z_B = 100(200) + 140(0) = 20000$ - $Z_C = 100(200) + 140(80) = 20000 + 11200 = 31200$ - $Z_D = 100(60) + 140(150) = 6000 + 21000 = 27000$ - $Z_E = 100(0) + 140(150) = 21000$ 9. **Conclusión:** La utilidad máxima es $$31200$$ cuando se producen $$200$$ alacenas normales y $$80$$ de lujo.