1. **Planteamiento del problema.** Se tiene un tubo de cobre con diámetro exterior $40\text{ mm}$ y diámetro interior $37\text{ mm}$. Sobre el tubo actúan tres pares de torsión: $80\text{ N·m}$, $20\text{ N·m}$ y $30\text{ N·m}$. Se pide determinar el **esfuerzo cortante máximo absoluto** desarrollado en el tubo. 2. **Fórmula que se usa en torsión.** Para un eje circular hueco, el esfuerzo cortante máximo es $$\tau_{\max}=\frac{Tc}{J}$$ Donde: - $T$ es el torque interno máximo, - $c$ es el radio exterior, - $J$ es el momento polar de inercia del anillo. Además, $$J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right)$$ 3. **Regla importante: primero hallar el torque interno en cada tramo.** El esfuerzo no depende solo de los torques aplicados, sino del **torque interno resultante** en cada sección del tubo. Según el sentido mostrado en la figura, los torques se combinan algebraicamente. Tomando como referencia los sentidos opuestos entre sí, el torque interno en cada tramo queda: - Tramo 1: $T_1=80\text{ N·m}$ - Tramo 2: $T_2=80-20=60\text{ N·m}$ - Tramo 3: $T_3=80-20-30=30\text{ N·m}$ Por lo tanto, el **máximo torque interno absoluto** es $$T_{\max}=80\text{ N·m}$$ 4. **Convertir unidades para trabajar en mm y N.** Como el diámetro está en mm, convertimos el torque a N·mm: $$80\text{ N·m}=80\times 1000=80000\text{ N·mm}$$ 5. **Calcular el momento polar $J$.** Datos: $$d_o=40\text{ mm},\quad d_i=37\text{ mm}$$ Sustituyendo en la fórmula: $$J=\frac{\pi}{32}\left(40^4-37^4\right)$$ Calculamos las potencias: $$40^4=2560000$$ $$37^4=1874161$$ Entonces: $$J=\frac{\pi}{32}(2560000-1874161)$$ $$J=\frac{\pi}{32}(685839)$$ $$J\approx 67338.19\text{ mm}^4$$ 6. **Calcular el radio exterior $c$.** El radio exterior es la mitad del diámetro exterior: $$c=\frac{40}{2}=20\text{ mm}$$ 7. **Aplicar la fórmula del esfuerzo cortante máximo.** Sustituyendo en $$\tau_{\max}=\frac{Tc}{J}$$ obtenemos $$\tau_{\max}=\frac{(80000)(20)}{67338.19}$$ $$\tau_{\max}\approx 23.76\text{ N/mm}^2$$ Como $1\text{ N/mm}^2=1\text{ MPa}$, entonces $$\tau_{\max}\approx 23.8\text{ MPa}$$ 8. **Verificación final.** El valor obtenido es razonable porque: - el torque máximo interno es el mayor aplicado, - el tubo es relativamente delgado, - el esfuerzo resultante queda del orden de decenas de MPa, lo cual es coherente para un tubo de cobre bajo torsión. 9. **Respuesta final.** El **esfuerzo cortante máximo absoluto** desarrollado en el tubo es $$\boxed{23.8\text{ MPa}}$$