Question: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $$y = \frac{2x + 1}{x + m}$$ nghịch biến trên khoảng $(3; +\infty)$.
1. **Nêu bài toán:**
Tìm tập hợp các giá trị của $m$ sao cho hàm số $$y = \frac{2x + 1}{x + m}$$ nghịch biến trên khoảng $(3; +\infty)$.
2. **Công thức và quy tắc:**
Hàm số nghịch biến trên khoảng khi đạo hàm của hàm số trên khoảng đó luôn nhỏ hơn 0.
3. **Tính đạo hàm:**
$$y = \frac{2x + 1}{x + m}$$
Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương:
$$y' = \frac{(2)(x + m) - (2x + 1)(1)}{(x + m)^2} = \frac{2x + 2m - 2x - 1}{(x + m)^2} = \frac{2m - 1}{(x + m)^2}$$
4. **Xét dấu đạo hàm trên khoảng $(3; +\infty)$:**
Mẫu số $(x + m)^2$ luôn dương với mọi $x \neq -m$.
Do đó, dấu của $y'$ phụ thuộc vào tử số $2m - 1$.
5. **Điều kiện nghịch biến:**
Để hàm nghịch biến trên $(3; +\infty)$, cần:
$$y' < 0 \Rightarrow \frac{2m - 1}{(x + m)^2} < 0$$
Vì mẫu số dương, nên:
$$2m - 1 < 0 \Rightarrow m < \frac{1}{2}$$
6. **Kiểm tra điều kiện xác định hàm trên $(3; +\infty)$:**
Hàm số xác định khi $x + m \neq 0 \Rightarrow x \neq -m$.
Để hàm xác định trên toàn bộ $(3; +\infty)$, cần $-m \notin (3; +\infty)$, tức là:
$$-m \leq 3 \Rightarrow m \geq -3$$
7. **Kết hợp điều kiện:**
$$m \geq -3 \quad \text{và} \quad m < \frac{1}{2}$$
8. **Kết luận:**
Tập hợp các giá trị $m$ thỏa mãn là:
$$[-3; \frac{1}{2})$$