Tỉ Số Lượng Giác 7B10C5

1. **Đặt vấn đề:** Cho tam giác vuông $\triangle ABC$ vuông tại $A$. Biết một tỉ số lượng giác của góc $B$, ta cần tính các tỉ số lượng giác còn lại của góc $B$. 2. **Công thức và quy tắc:** - Trong tam giác vuông, các tỉ số lượng giác của góc $B$ liên hệ với nhau qua các công thức: $$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$$ $$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B}$$ $$\cot B = \frac{1}{\tan B} = \frac{\cos B}{\sin B}$$ 3. **Giải từng trường hợp:** --- a) Cho $\sin B = \frac{1}{3}$. - Tính $\cos B$: $$\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ - Tính $\tan B$: $$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ - Tính $\cot B$: $$\cot B = \frac{1}{\tan B} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$$ --- b) Cho $\cos B = \frac{1}{2}$. - Tính $\sin B$: $$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ - Tính $\tan B$: $$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$ - Tính $\cot B$: $$\cot B = \frac{1}{\tan B} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ --- c) Cho $\tan B = \frac{3}{4}$. - Tính $\sin B$ và $\cos B$ từ $\tan B = \frac{\sin B}{\cos B}$. Giả sử $\sin B = 3k$, $\cos B = 4k$ với $k > 0$. Áp dụng công thức: $$\sin^2 B + \cos^2 B = 1 \Rightarrow (3k)^2 + (4k)^2 = 1 \Rightarrow 9k^2 + 16k^2 = 1 \Rightarrow 25k^2 = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{5}$$ Vậy: $$\sin B = 3k = \frac{3}{5}, \quad \cos B = 4k = \frac{4}{5}$$ - Tính $\cot B$: $$\cot B = \frac{1}{\tan B} = \frac{4}{3}$$ --- d) Cho $\cot B = \frac{4}{5}$. - Tính $\tan B$: $$\tan B = \frac{1}{\cot B} = \frac{5}{4}$$ - Giả sử $\sin B = 5k$, $\cos B = 4k$. Áp dụng: $$\sin^2 B + \cos^2 B = 1 \Rightarrow 25k^2 + 16k^2 = 1 \Rightarrow 41k^2 = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{41}}$$ Vậy: $$\sin B = \frac{5}{\sqrt{41}}, \quad \cos B = \frac{4}{\sqrt{41}}, \quad \tan B = \frac{5}{4}$$ --- **Kết luận:** - Với mỗi tỉ số lượng giác cho trước, ta sử dụng công thức $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ để tìm tỉ số còn lại.