1. **Nêu bài toán:** Cho một hình lập phương cạnh 1, trong đó đặt 2026 điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ luôn lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{10}$. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách chính xác bằng $\frac{\sqrt{3}}{5}$. 2. **Phân tích bài toán:** - Hình lập phương cạnh 1 có thể xem là tập hợp các điểm trong không gian 3 chiều với tọa độ $x,y,z$ thỏa mãn $0 \leq x,y,z \leq 1$. - Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_1,y_1,z_1)$ và $B(x_2,y_2,z_2)$ được tính bằng công thức: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$ - Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm là $\frac{1}{10}$. 3. **Ý tưởng chứng minh:** - Chia hình lập phương thành các ô nhỏ có cạnh $\frac{1}{5}$ (vì $\frac{\sqrt{3}}{5}$ là khoảng cách đường chéo của ô lập phương nhỏ cạnh $\frac{1}{5}$). - Số ô nhỏ là $5^3 = 125$. - Mỗi ô nhỏ có thể chứa tối đa một điểm cách nhau ít nhất $\frac{1}{10}$. - Tuy nhiên, số điểm là 2026, lớn hơn nhiều so với số ô nhỏ. - Do đó, theo nguyên lý Dirichlet, phải có ít nhất một ô chứa nhiều hơn một điểm. 4. **Xác định khoảng cách $\frac{\sqrt{3}}{5}$:** - Khoảng cách $\frac{\sqrt{3}}{5}$ là khoảng cách giữa hai điểm nằm ở hai đỉnh đối diện của một ô nhỏ cạnh $\frac{1}{5}$. - Vì các điểm trong cùng một ô nhỏ cách nhau ít nhất $\frac{1}{10}$, nên khoảng cách giữa hai điểm trong ô đó có thể là $\frac{\sqrt{3}}{5}$. 5. **Kết luận:** - Với 2026 điểm đặt trong 125 ô nhỏ, theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất một ô chứa ít nhất hai điểm. - Hai điểm này có khoảng cách chính xác bằng $\frac{\sqrt{3}}{5}$. **Đáp số:** Tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách bằng $\frac{\sqrt{3}}{5}$.