Schrotleiter Laderampe 4B6A74

1. **Problemstellung:**\n\n(a) Eine Schrotleiter soll eine Laderampe mit der Höhe $1{,}60$ m bilden. Der Neigungswinkel $\alpha$ darf höchstens $35^\circ$ betragen. Gesucht ist die minimale Länge der Schrotleiter.\n\n(b) Für eine andere Laderampe mit Höhe $1{,}40$ m und einer Schrotleiterlänge von $3{,}50$ m soll der Neigungswinkel $\alpha$ berechnet werden.\n\n2. **Formeln und wichtige Regeln:**\n\nWir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Schrotleiter die Hypotenuse $c$ ist, die Höhe die Gegenkathete $a$ zum Winkel $\alpha$ und die Grundlinie die Ankathete $b$.\n\nDie trigonometrischen Beziehungen sind:\n\n$$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}$$\n$$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}$$\n$$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b}$$\n\nFür beide Aufgaben verwenden wir den Sinus, da Höhe (Gegenkathete) und Hypotenuse (Leiterlänge) zusammenhängen.\n\n---\n\n### (a) Länge der Schrotleiter bei gegebener Höhe und maximalem Winkel\n\n3. Gegeben: $a = 1{,}60$ m, $\alpha = 35^\circ$, gesucht: $c$\n\n4. Formel umstellen nach $c$:\n$$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} \Rightarrow c = \frac{a}{\sin(\alpha)}$$\n\n5. Einsetzen der Werte:\n$$c = \frac{1{,}60}{\sin(35^\circ)}$$\n\n6. Berechnung von $\sin(35^\circ)$ (ungefähr $0{,}574$):\n$$c = \frac{1{,}60}{0{,}574} \approx 2{,}79\text{ m}$$\n\n**Antwort (a):** Die Schrotleiter muss mindestens $2{,}79$ m lang sein.\n\n---\n\n### (b) Neigungswinkel bei gegebener Höhe und Leiterlänge\n\n7. Gegeben: $a = 1{,}40$ m, $c = 3{,}50$ m, gesucht: $\alpha$\n\n8. Formel umstellen nach $\alpha$:\n$$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} \Rightarrow \alpha = \arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$\n\n9. Einsetzen der Werte:\n$$\alpha = \arcsin\left(\frac{1{,}40}{3{,}50}\right) = \arcsin(0{,}4)$$\n\n10. Berechnung von $\arcsin(0{,}4)$ (ungefähr $23{,}58^\circ$):\n$$\alpha \approx 23{,}58^\circ$$\n\n**Antwort (b):** Der Neigungswinkel beträgt ungefähr $23{,}58^\circ$.