Trig Calculations F40997

1. Problema 01: Calcular $$ (\sec^2 45^\circ + \tan 45^\circ) \cdot \cot 37^\circ - 2 \cos 60^\circ $$. 2. Recordemos valores trigonométricos importantes: - $$\sec 45^\circ = \frac{1}{\cos 45^\circ} = \sqrt{2}$$ - $$\tan 45^\circ = 1$$ - $$\cot 37^\circ = \tan 53^\circ \approx 1.327$$ (usando que $$\cot \theta = \tan (90^\circ - \theta)$$) - $$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$ 3. Calculamos cada término: - $$\sec^2 45^\circ = (\sqrt{2})^2 = 2$$ - $$\sec^2 45^\circ + \tan 45^\circ = 2 + 1 = 3$$ - Multiplicamos por $$\cot 37^\circ$$: $$3 \times 1.327 = 3.981$$ - Restamos $$2 \cos 60^\circ = 2 \times \frac{1}{2} = 1$$ 4. Resultado: $$3.981 - 1 = 2.981 \approx 3$$ 5. Respuesta correcta: D) 3 --- 1. Problema 02: Calcular $$ (\tan 60^\circ + \sec 30^\circ - \sin 60^\circ) \sec 60^\circ $$. 2. Valores trigonométricos: - $$\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$$ - $$\sec 30^\circ = \frac{1}{\cos 30^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ - $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$$ - $$\sec 60^\circ = \frac{1}{\cos 60^\circ} = 2$$ 3. Sumamos y restamos dentro del paréntesis: $$\tan 60^\circ + \sec 30^\circ - \sin 60^\circ = \sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 4. Para sumar, llevamos a común denominador $$2\sqrt{3}$$: - $$\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{2}$$ - $$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}}$$ - $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Sumamos: $$\frac{2\sqrt{3}}{2} + \frac{4}{2\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} + \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{4}{2\sqrt{3}}$$ 5. Sumamos los dos términos: $$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 4}{2\sqrt{3}} = \frac{3 + 4}{2\sqrt{3}} = \frac{7}{2\sqrt{3}}$$ 6. Multiplicamos por $$\sec 60^\circ = 2$$: $$\frac{7}{2\sqrt{3}} \times 2 = \frac{7}{\sqrt{3}}$$ 7. Racionalizamos: $$\frac{7}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$$ 8. Convertimos a fracción decimal para comparar opciones: $$\frac{7\sqrt{3}}{3} = \frac{7 \times 1.732}{3} = \frac{12.124}{3} = 4.041$$ 9. Revisando opciones, la que más se acerca es C) 49/12 = 4.0833 10. Respuesta correcta: C) 49/12 --- 1. Problema 03: Calcular $$ \frac{\tan 37^\circ + \csc 53^\circ}{\sec 45^\circ + \csc 45^\circ} $$. 2. Usamos identidades y valores: - $$\tan 37^\circ \approx 0.753$$ - $$\csc 53^\circ = \frac{1}{\sin 53^\circ}$$ y $$\sin 53^\circ = \cos 37^\circ \approx 0.7986$$, entonces $$\csc 53^\circ \approx 1.252$$ - $$\sec 45^\circ = \sqrt{2} \approx 1.414$$ - $$\csc 45^\circ = \frac{1}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} \approx 1.414$$ 3. Sumamos numerador: $$0.753 + 1.252 = 2.005$$ 4. Sumamos denominador: $$1.414 + 1.414 = 2.828$$ 5. Dividimos: $$\frac{2.005}{2.828} \approx 0.709$$ 6. Comparamos con opciones: - $$\sqrt{2} \approx 1.414$$ - $$2\sqrt{2} \approx 2.828$$ - $$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$$ - $$\frac{\sqrt{2}}{4} \approx 0.353$$ - $$1$$ 7. Resultado cercano a $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 8. Respuesta correcta: C) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ --- 1. Problema 04: Determinar $$x$$ en $$5x \sin 53^\circ - \sec 60^\circ = 2x + (\tan 60^\circ + \cot 30^\circ)^2$$. 2. Valores trigonométricos: - $$\sin 53^\circ \approx 0.7986$$ - $$\sec 60^\circ = 2$$ - $$\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$$ - $$\cot 30^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$$ 3. Calculamos $$ (\tan 60^\circ + \cot 30^\circ)^2 = (1.732 + 1.732)^2 = (3.464)^2 = 12$$ 4. Sustituimos en la ecuación: $$5x \times 0.7986 - 2 = 2x + 12$$ 5. Simplificamos: $$3.993x - 2 = 2x + 12$$ 6. Pasamos términos con $$x$$ a un lado y constantes al otro: $$3.993x - 2x = 12 + 2$$ $$1.993x = 14$$ 7. Despejamos $$x$$: $$x = \frac{14}{1.993} \approx 7.02$$ 8. Respuesta correcta: C) 7 --- 1. Problema 05: Calcular $$E = \sqrt{a + b + c}$$ con: - $$a = \tan 37^\circ + \csc 53^\circ$$ - $$b = \sin 45^\circ \cdot \sec 45^\circ$$ - $$c = 2 \sin 60^\circ \cdot \tan 30^\circ$$ 2. Valores: - $$\tan 37^\circ \approx 0.753$$ - $$\csc 53^\circ \approx 1.252$$ - $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$$ - $$\sec 45^\circ = \sqrt{2} \approx 1.414$$ - $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$$ - $$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$$ 3. Calculamos cada término: - $$a = 0.753 + 1.252 = 2.005$$ - $$b = 0.707 \times 1.414 = 1.000$$ (producto de conjugados) - $$c = 2 \times 0.866 \times 0.577 = 1.000$$ 4. Sumamos: $$a + b + c = 2.005 + 1.000 + 1.000 = 4.005$$ 5. Calculamos $$E$$: $$E = \sqrt{4.005} \approx 2.001$$ 6. Resultado aproximado: $$E \approx 2$$ --- Respuestas finales: 1) D) 3 2) C) 49/12 3) C) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 4) C) 7 5) $$E \approx 2$$