Question: GUIA DE ESTUDIO
Tipo práctico: Realice lo que a continuación se le solicita, deje constancia de su trabajo de lo contrario su
respuesta no tendrá validez. Encierre su respuesta en tinta y en un círculo de color rojo.
Verifique las siguientes identidades trigonométricas:
1. cot²x \cdot csc x = csc x - sen x
2. \frac{cos²x + sen²x}{1 + tan²x} = cos²x
3. tan x + cot x = sec x \cdot csc x
4. (1 - sen²x) \cdot sec x = cos x
5. \frac{sen x}{1 + cos x} + \frac{1 + cos x}{sen x} = 2 csc x
6. 1 - 2 sen²x = 2 cos²x - 1
7. sec²x - tan²x = 1
Encuentre el valor de las siguientes funciones trigonométricas:
Si $\alpha = 45^\circ$, $\beta = 30^\circ$ y $\theta = 60^\circ$ encuentre:
8. sen(\alpha + \beta)
9. cos(\alpha - \theta)
10. tan²(\beta)
11. cos(\frac{\theta}{2})
12. sen(\theta) \cdot cos(\beta) + cos(\theta) \cdot sen(\beta)
13. \frac{tan(\alpha) - tan(\beta)}{1 + tan(\alpha)tan(\beta)}
14. sen(2\beta)
Grafique usando tabla de valores y encuentre el desplazamiento horizontal, desplazamiento
vertical, la amplitud, el periodo, el dominio y el rango para la función:
15. y = 3 sen(2x)
16. y = -4 + 5 sen(8x)
17. y = 2 cos(\frac{x}{2})
18. y = 3 cos(2x - \pi) + 1
19. y = -2 sen(x + \frac{\pi}{4})
20. y = -sen(x) + 2
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1. Verificar la identidad: $$\cot^2 x \cdot \csc x = \csc x - \sin x$$
- Recordemos que $$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$ y $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$.
- Entonces, $$\cot^2 x \cdot \csc x = \left(\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\right) \cdot \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos^2 x}{\sin^3 x}$$.
- El lado derecho es $$\csc x - \sin x = \frac{1}{\sin x} - \sin x = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin x} = \frac{\cos^2 x}{\sin x}$$.
- Comparando $$\frac{\cos^2 x}{\sin^3 x}$$ y $$\frac{\cos^2 x}{\sin x}$$, no son iguales, por lo que la identidad no es correcta tal cual.
2. Verificar: $$\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{1 + \tan^2 x} = \cos^2 x$$
- Sabemos que $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$.
- Además, $$1 + \tan^2 x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$$.
- Entonces, $$\frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \cos^2 x$$.
- Por lo tanto, $$\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \cos^2 x$$, identidad verificada.
3. Verificar: $$\tan x + \cot x = \sec x \cdot \csc x$$
- $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$, $$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$.
- Suma: $$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$$.
- Producto: $$\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$$.
- Por lo tanto, la identidad es correcta.
4. Verificar: $$(1 - \sin^2 x) \cdot \sec x = \cos x$$
- Sabemos que $$1 - \sin^2 x = \cos^2 x$$.
- Entonces, $$\cos^2 x \cdot \sec x = \cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos x} = \cos x$$.
- Identidad verificada.
5. Verificar: $$\frac{\sin x}{1 + \cos x} + \frac{1 + \cos x}{\sin x} = 2 \csc x$$
- Tomamos común denominador $$\sin x (1 + \cos x)$$:
- $$\frac{\sin^2 x + (1 + \cos x)^2}{\sin x (1 + \cos x)}$$
- Expandimos $$ (1 + \cos x)^2 = 1 + 2 \cos x + \cos^2 x$$
- Numerador: $$\sin^2 x + 1 + 2 \cos x + \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) + 1 + 2 \cos x = 1 + 1 + 2 \cos x = 2 (1 + \cos x)$$
- Entonces, expresión es $$\frac{2 (1 + \cos x)}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{2}{\sin x} = 2 \csc x$$.
- Identidad verificada.
6. Verificar: $$1 - 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1$$
- Sabemos que $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$.
- Reescribimos $$2 \cos^2 x - 1 = 2 (1 - \sin^2 x) - 1 = 2 - 2 \sin^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x$$.
- Identidad verificada.
7. Verificar: $$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$$
- Identidad pitagórica conocida.
- $$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x \Rightarrow \sec^2 x - \tan^2 x = 1$$.
- Identidad verificada.
8. Calcular $$\sin(\alpha + \beta)$$ con $$\alpha = 45^\circ$$ y $$\beta = 30^\circ$$
- Fórmula: $$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$
- $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$
- $$\sin(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$
9. Calcular $$\cos(\alpha - \theta)$$ con $$\alpha = 45^\circ$$ y $$\theta = 60^\circ$$
- Fórmula: $$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$$
- $$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$, $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
- $$\cos(45^\circ - 60^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$$
10. Calcular $$\tan^2(\beta)$$ con $$\beta = 30^\circ$$
- $$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
- $$\tan^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$
11. Calcular $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$$ con $$\theta = 60^\circ$$
- $$\frac{\theta}{2} = 30^\circ$$
- $$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
12. Calcular $$\sin(\theta) \cdot \cos(\beta) + \cos(\theta) \cdot \sin(\beta)$$ con $$\theta=60^\circ$$ y $$\beta=30^\circ$$
- Esta es la fórmula de $$\sin(\theta + \beta)$$
- $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$, $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$
- $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$$
13. Calcular $$\frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)}$$ con $$\alpha=45^\circ$$ y $$\beta=30^\circ$$
- $$\tan 45^\circ = 1$$, $$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
- Sustituimos:
- Numerador: $$1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$$
- Denominador: $$1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$$
- Fracción completa:
- $$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$$
- Racionalizamos:
- $$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \frac{9 - 6 \sqrt{3} + 3}{6} = \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$$
14. Calcular $$\sin(2\beta)$$ con $$\beta = 30^\circ$$
- $$\sin(2 \times 30^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
15. Para $$y = 3 \sin(2x)$$:
- Amplitud: $$3$$
- Periodo: $$\frac{2\pi}{2} = \pi$$
- Desplazamiento horizontal: $$0$$
- Desplazamiento vertical: $$0$$
- Dominio: $$\mathbb{R}$$
- Rango: $$[-3, 3]$$
16. Para $$y = -4 + 5 \sin(8x)$$:
- Amplitud: $$5$$
- Periodo: $$\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$$
- Desplazamiento horizontal: $$0$$
- Desplazamiento vertical: $$-4$$
- Dominio: $$\mathbb{R}$$
- Rango: $$[-9, 1]$$
17. Para $$y = 2 \cos\left(\frac{x}{2}\right)$$:
- Amplitud: $$2$$
- Periodo: $$\frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$$
- Desplazamiento horizontal: $$0$$
- Desplazamiento vertical: $$0$$
- Dominio: $$\mathbb{R}$$
- Rango: $$[-2, 2]$$
18. Para $$y = 3 \cos(2x - \pi) + 1$$:
- Amplitud: $$3$$
- Periodo: $$\frac{2\pi}{2} = \pi$$
- Desplazamiento horizontal: $$\frac{\pi}{2}$$ (porque $$2x - \pi = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$$)
- Desplazamiento vertical: $$1$$
- Dominio: $$\mathbb{R}$$
- Rango: $$[-2, 4]$$
19. Para $$y = -2 \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$:
- Amplitud: $$2$$
- Periodo: $$2\pi$$
- Desplazamiento horizontal: $$-\frac{\pi}{4}$$
- Desplazamiento vertical: $$0$$
- Dominio: $$\mathbb{R}$$
- Rango: $$[-2, 2]$$
20. Para $$y = -\sin x + 2$$:
- Amplitud: $$1$$
- Periodo: $$2\pi$$
- Desplazamiento horizontal: $$0$$
- Desplazamiento vertical: $$2$$
- Dominio: $$\mathbb{R}$$
- Rango: $$[1, 3]$$