Question: PAMĖGINAME
1. Yra žinoma, kad $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$. Įrodykite, kad:
$\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha$, $\sin \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha$,
$\sin \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos \alpha$, $\sin \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos \alpha$.
2. Apskaičiuokite:
a) $\sin 75^\circ$; b) $\sin \frac{11\pi}{12}$
3. Apskaičiuokite reiškinių reikšmes:
a) $\sin 20^\circ \cos 40^\circ + \sin 40^\circ \cos 20^\circ$;
b) $\cos 70^\circ \sin 40^\circ - \sin 70^\circ \cos 40^\circ$;
c) $\sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{12} \sin \frac{\pi}{12}$;
d) $\sin \frac{5\pi}{18} \cos \frac{\pi}{36} - \cos \frac{5\pi}{18} \sin \frac{\pi}{36}$;
e) $\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}$;
f) $\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos 75^\circ + \sin 75^\circ)$.
4. Suprastinkite reiškinius:
a) $\sin 22^\circ \cos \alpha - \cos 202^\circ \sin \alpha$;
b) $\left(\cos 18^\circ \cos 7^\circ + \sin (-18^\circ) \sin 7^\circ\right)^2 + \left(\sin 15^\circ \cos (-10^\circ) + \cos 15^\circ \sin 10^\circ\right)^2$;
c) $\sin (127^\circ + \alpha) \cos (37^\circ + \alpha) - \sin (37^\circ + \alpha) \cos (127^\circ + \alpha)$.
5. Įrodykite, kad
$\cos \alpha - \sin (150^\circ + \alpha) - \sin (150^\circ - \alpha) = 0$.
6. Įrodykite, kad $\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)}{2}$.
7. Yra žinoma, kad $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \beta = -\frac{3}{5}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$,
$\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Apskaičiuokite:
a) $\sin (\alpha + \beta)$; b) kampo $(\alpha + \beta)$ dydį.
Padėk su 5, 6 ir 7
1. **Problemos teiginys:** Įrodyti, kad
$$\cos \alpha - \sin (150^\circ + \alpha) - \sin (150^\circ - \alpha) = 0.$$
2. **Formulės ir taisyklės:** Naudosime sinuso sumos ir skirtumo formules:
$$\sin (A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B.$$
3. **Išskleiskime sinuso išraiškas:**
$$\sin (150^\circ + \alpha) = \sin 150^\circ \cos \alpha + \cos 150^\circ \sin \alpha,$$
$$\sin (150^\circ - \alpha) = \sin 150^\circ \cos \alpha - \cos 150^\circ \sin \alpha.$$
4. **Sudėkime abi išraiškas:**
$$\sin (150^\circ + \alpha) + \sin (150^\circ - \alpha) = 2 \sin 150^\circ \cos \alpha.$$
5. **Pakeiskime į pradinę lygtį:**
$$\cos \alpha - 2 \sin 150^\circ \cos \alpha = 0.$$
6. **Išskirkime $\cos \alpha$:**
$$\cos \alpha (1 - 2 \sin 150^\circ) = 0.$$
7. **Žinome, kad $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$, todėl:**
$$1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0.$$
8. **Taigi, lygtis tenkinama:**
$$\cos \alpha \cdot 0 = 0,$$
kas įrodo teiginį.
---
1. **Problemos teiginys:** Įrodyti, kad
$$\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)}{2}.$$
2. **Formulės:** Naudosime sinuso sumos ir skirtumo formules:
$$\sin (A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B.$$
3. **Išskleiskime dešinę pusę:**
$$\frac{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)}{2} = \frac{(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) + (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)}{2}.$$
4. **Supaprastinkime:**
$$= \frac{2 \sin \alpha \cos \beta}{2} = \sin \alpha \cos \beta,$$
kas yra kairioji pusė.
5. **Taigi, lygtis įrodyta.**
---
1. **Duota:** $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \beta = -\frac{3}{5}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Reikia apskaičiuoti:
a) $\sin (\alpha + \beta)$;
b) kampo $\alpha + \beta$ dydį.
2. **Apskaičiuokime $\cos \alpha$:**
$$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$
3. **Apskaičiuokime $\sin \beta$:** Kadangi $\cos \beta = -\frac{3}{5}$ ir $\beta$ yra antrame arba trečiame kvadrante, kur $\sin \beta > 0$ antrame ir $\sin \beta < 0$ trečiame, bet $\beta \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, tai $\sin \beta$ yra teigiamas antrame kvadrante arba neigiamas trečiame. Kadangi $\cos \beta$ neigiamas, $\sin \beta$ bus:
$$\sin \beta = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \pm \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \pm \frac{4}{5}.$$
4. **Pasirinkime teisingą ženklą:** Kadangi $\beta$ yra antrame kvadrante (kur $\sin \beta > 0$) arba trečiame (kur $\sin \beta < 0$), bet $\cos \beta$ neigiamas, tai $\beta$ yra antrame kvadrante, todėl:
$$\sin \beta = \frac{4}{5}.$$
5. **Apskaičiuokime $\sin (\alpha + \beta)$ naudodami sumos formulę:**
$$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{7}{25}.$$
6. **Apskaičiuokime kampo $\alpha + \beta$ dydį:**
Naudojame $\sin (\alpha + \beta) = \frac{7}{25}$ ir žinome, kad $\alpha + \beta$ yra kampas, kurio sinusas yra $\frac{7}{25}$. Kadangi $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$ ir $\beta \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, $\alpha + \beta$ gali būti tarp $\frac{\pi}{2}$ ir $2\pi$. Tikslus kampas:
$$\alpha + \beta = \arcsin \left(\frac{7}{25}\right) \text{ arba } \pi - \arcsin \left(\frac{7}{25}\right).$$
7. **Kadangi $\alpha + \beta$ yra antrame arba trečiame kvadrante, kampas yra:**
$$\alpha + \beta = \pi - \arcsin \left(\frac{7}{25}\right) \approx 3.1416 - 0.2810 = 2.8606 \text{ radianų}.$$