📘 analyse

**Problème 8 - Partie A et B** **PARTIE A : Étude de la fonction $g(x) = x - 2 - (x - 3)\ln(x - 3)$ définie sur $]3; +\infty[$**

1. Calculer la limite de chaque suite donnée. 1. $u_n = \frac{n^2 + 2}{n^2 - 1}$

1. Calculons $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos x} \cdot \sqrt[3]{\cos x}}{\sin^2 x}$$.\n\nPour des petites valeurs de $x$, $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$. Donc:\n$$\sqrt{\cos x

1. Énonçons le problème : Calculer la limite d'une fonction ou d'une expression algébrique donnée en appliquant toutes les étapes nécessaires. 2. Identifier la limite à calculer, p

1. Énonçons le problème : développer une limite implique souvent d'identifier la forme indéterminée, puis choisir la méthode adaptée (somme, produit, quotient, changement de variab

1. Énoncé: Soit la fonction $f$ définie sur $E = ]-\infty; c[$ par $f(m) = m \sqrt{m^2 - 1}$. 2. Calcul de $f(m)$:

1. Énoncé du problème : Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f$ définie par $$

1. Le problème consiste à étudier la fonction $f$ définie par : $$f(x) = x - 3 + \frac{x}{(\sqrt{x} - 1)^2}$$

1. Énoncé du problème : Calculer les limites de la fonction $$f(x) = x - 3 + \frac{x}{(\sqrt{x} - 1)^2}$$ en $$x \to -\infty$$ et en $$x \to 1$$. 2. Calcul de $$\lim_{x \to -\infty

1. Énoncé du problème : Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$u_n = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \cdots + \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}, \quad n \geq 1.$$ 2. Montrons que

### Exercice 1 : expliciter la somme partielle et donner la nature des séries numériques 1. Soit $u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$, $n \in \mathbb{N}^*$.

1. Calcul des limites : - $$\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{10+x}+3x}{x^2+4x+3} = \frac{\sqrt{11}+3}{1+4+3} = \frac{\sqrt{11}+3}{8}$$

1. Calcul des limites : - $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{10 + x + 3x}}{x^2 + 4x + 3} = \frac{\sqrt{10 + 4}}{1 + 4 + 3} = \frac{\sqrt{14}}{8}$$

1. Énonçons le problème. Nous devons calculer la limite $$\lim_{x \to +\infty} f(x)$$ où $f(x)$ est une fonction que vous n'avez pas précisée. 2. Veuillez fournir l'expression comp

1. Énoncé du problème : Il s'agit d'étudier la fonction $$f(x) = \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 3x + 9}$$ définie sur l'intervalle $[-3,+\infty[$.

1. **Détermination de l'ensemble de définition de $f$** L'ensemble de définition $D_f$ est l'ensemble des réels pour lesquels le dénominateur $(x-2)^2$ n'est pas nul.

1. Énoncé du problème : Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément et le plus petit élément de l'ensemble

Énoncé du problème : Déterminer l'image (l'ensemble des valeurs prises) de la fonction $f(x)=x\cos x$. 1. Étudions des valeurs particulières.

1. **Énoncé du problème** : Montrer que les suites $(u_n)_{n\geq1}$ et $(v_n)_{n\geq1}$ définies par $$u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$$ et $$v_n = u_n + \frac{1}{n}$$

1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $f$ définie pour $x\geq 0$ par $f(x) = x - \sqrt{x}$. Calculer certaines limites, étudier la dérivabilité, le signe de la dérivée, l

1. Énoncé du problème : Étudier la fonction $f(x) = x^3 - 3x + 1$.