Question: User: a) (8 pts) Considere la función f : R → R definida por tramos:
f(x) = { ax² + bx si x ≤ 2
(x − 2) / √(x + 7) − 3 si x > 2
Determine los valores de las constantes reales a y b para que f sea derivable en x = 2.
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos encontrar los valores de $a$ y $b$ para que la función definida por tramos
$$
f(x) = \begin{cases} a x^2 + b x & \text{si } x \leq 2 \\ \frac{x - 2}{\sqrt{x + 7}} - 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}
$$
sea derivable en $x = 2$.
2. **Condiciones para derivabilidad en un punto:**
Para que $f$ sea derivable en $x=2$, debe ser continua en $x=2$ y las derivadas laterales deben coincidir:
- Continuidad: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) = \lim_{x \to 2^+} f(x)$
- Derivabilidad: $f'_-(2) = f'_+(2)$
3. **Calcular $f(2)$ usando la definición para $x \leq 2$:**
$$
f(2) = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 = 4a + 2b
$$
4. **Calcular el límite por la derecha $x \to 2^+$:**
$$
\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left( \frac{x - 2}{\sqrt{x + 7}} - 3 \right)
$$
Cuando $x \to 2$, el numerador $x-2 \to 0$ y el denominador $\sqrt{x+7} \to \sqrt{9} = 3$, entonces:
$$
\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{0}{3} - 3 = -3
$$
5. **Condición de continuidad:**
Igualamos los límites y el valor en 2:
$$
4a + 2b = -3
$$
6. **Calcular derivada para $x \leq 2$:**
$$
f'(x) = 2 a x + b
$$
Por lo tanto,
$$
f'_-(2) = 2 a \cdot 2 + b = 4a + b
$$
7. **Calcular derivada para $x > 2$:**
Sea
$$
g(x) = \frac{x - 2}{\sqrt{x + 7}} - 3
$$
Derivamos usando la regla del cociente para
$$
\frac{x - 2}{\sqrt{x + 7}} = (x-2)(x+7)^{-1/2}
$$
Derivada:
$$
g'(x) = (x+7)^{-1/2} \cdot 1 + (x-2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x+7)^{-3/2} = \frac{1}{\sqrt{x+7}} - \frac{x-2}{2 (x+7)^{3/2}}
$$
8. **Evaluar $g'(x)$ en $x=2$:**
$$
g'(2) = \frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{0}{2 \cdot 27} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}
$$
9. **Condición de derivabilidad:**
Igualamos las derivadas laterales:
$$
4a + b = \frac{1}{3}
$$
10. **Sistema de ecuaciones:**
$$
\begin{cases}
4a + 2b = -3 \\
4a + b = \frac{1}{3}
\end{cases}
$$
11. **Resolver el sistema:**
Restamos la segunda ecuación de la primera:
$$
(4a + 2b) - (4a + b) = -3 - \frac{1}{3} \\
b = -\frac{10}{3}
$$
Sustituimos $b$ en la segunda ecuación:
$$
4a - \frac{10}{3} = \frac{1}{3} \\
4a = \frac{1}{3} + \frac{10}{3} = \frac{11}{3} \\
a = \frac{11}{12}
$$
12. **Respuesta final:**
$$
a = \frac{11}{12}, \quad b = -\frac{10}{3}
$$
Estos valores garantizan que $f$ sea derivable en $x=2$.