Derivada Definicion 1Fbc19

1. **Planteamiento del problema:** Calcular la derivada de la función $$f(x) = 3x^2 - 4x + 1$$ usando la definición de derivada. 2. **Definición de derivada:** La derivada de una función $$f(x)$$ en un punto $$x$$ se define como el límite: $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ Esta fórmula representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $$x$$. 3. **Aplicación de la definición:** Calculamos $$f(x+h)$$: $$ f(x+h) = 3(x+h)^2 - 4(x+h) + 1 = 3(x^2 + 2xh + h^2) - 4x - 4h + 1 = 3x^2 + 6xh + 3h^2 - 4x - 4h + 1 $$ 4. **Sustitución en el límite:** $$ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(3x^2 + 6xh + 3h^2 - 4x - 4h + 1) - (3x^2 - 4x + 1)}{h} = \frac{6xh + 3h^2 - 4h}{h} $$ 5. **Simplificación cancelando $$h$$:** $$ \frac{\cancel{h}(6x + 3h - 4)}{\cancel{h}} = 6x + 3h - 4 $$ 6. **Evaluación del límite cuando $$h \to 0$$:** $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} (6x + 3h - 4) = 6x - 4 $$ 7. **Interpretación geométrica:** La derivada $$f'(x) = 6x - 4$$ representa la pendiente de la tangente a la curva en cualquier punto $$x$$. Por ejemplo, en $$x=1$$: $$ f'(1) = 6(1) - 4 = 2 $$ Esto significa que la pendiente de la tangente a la curva en $$x=1$$ es $$2$$, indicando que la función crece con esa pendiente en ese punto. **Respuesta final:** $$ f'(x) = 6x - 4 $$