Question: User: P1. Considere la función $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
a) Calcule $f'(x)$ mediante la definición formal de límite para todo $x > 0$.
b) Verifique su resultado utilizando la regla de potencias para $f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$.
1. **Planteamiento del problema:**
Calcular la derivada de la función $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ para $x > 0$.
2. **Parte a) Derivada mediante la definición formal de límite:**
La definición formal de la derivada es:
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
3. Sustituimos $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$:
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{h}$$
4. Para simplificar, combinamos las fracciones en el numerador:
$$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+h}}{\sqrt{x+h} \sqrt{x}}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+h}}{h \sqrt{x+h} \sqrt{x}}$$
5. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado $\sqrt{x} + \sqrt{x+h}$ para eliminar raíces en el numerador:
$$= \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x+h})(\sqrt{x} + \sqrt{x+h})}{h \sqrt{x+h} \sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x+h})} = \lim_{h \to 0} \frac{x - (x+h)}{h \sqrt{x+h} \sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x+h})}$$
6. Simplificamos el numerador:
$$= \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h \sqrt{x+h} \sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x+h})}$$
7. Cancelamos $h$ en numerador y denominador:
$$= \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{-h}}{\cancel{h} \sqrt{x+h} \sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x+h})} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sqrt{x+h} \sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x+h})}$$
8. Evaluamos el límite cuando $h \to 0$:
$$= \frac{-1}{\sqrt{x} \sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x})} = \frac{-1}{x (2 \sqrt{x})} = \frac{-1}{2 x^{3/2}}$$
9. **Parte b) Verificación usando la regla de potencias:**
Recordemos que $f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$.
La regla de potencias dice que si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = n x^{n-1}$.
10. Aplicamos la regla:
$$f'(x) = -\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} - 1} = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2 x^{3/2}}$$
11. **Conclusión:**
Ambos métodos coinciden y la derivada es:
$$f'(x) = -\frac{1}{2 x^{3/2}}$$