Question: ¿Qué son las derivadas?
Las derivadas son reglas matemáticas que sirven para estudiar las funciones. En particular,
la derivada de una función en un punto es el resultado de un límite e indica el
comportamiento de la función en ese punto.
La derivada de una función se expresa con el signo prima, es decir, la función $f'(x)$ es la
derivada de la función $f(x)$. Geométricamente, el significado de la derivada de una función
en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
¿Qué es la derivada de una función?
La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una
función en un determinado punto cuando su variable independiente cambia. Es decir,
qué tan rápido se está produciendo una variación.
Derivada de una función: Por ejemplo imagina que hay una función que calcula la posición
de un coche en el tiempo. La derivada de esta función, nos indicará a qué velocidad va el
coche en cada momento
Notación de Lagrange: $f'$
Notación de Leibniz: $\frac{dy}{dx}$
Notación de Newton: $y'$
1°. Parte: Aplica la definición
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ para calcular:
a) $f(x) = x^2 - 2x + 1$
b) $f(x) = x^3 - 4x + 5$
c) $f(x) = \sqrt{x - 3}$
d) $f(x) = x-9$
2°. Parte: Derivada usando las reglas de derivación. Calcula las derivadas de las funciones.
1. $y = 95$
2. $y = 43 + x$
3. $y = 8x-15$
4. $y = x^{1/3} + 8x$
5. $y = -x^4 + 7x^5 - 3x^{-5}$
6. $y = x^3(3x + 2)$
7. $y = \frac{10}{5x-9}$
8. $y = \frac{x^5-3}{x^5+3}$
9. $y = (5x^2 - 3)(x^2 + 4)$
10. $y = 9x^{100} - 4x + 7x^8 + 9$
11. $y = \frac{x}{x^4+1}$
1. **Planteamiento del problema:** Vamos a calcular las derivadas de las funciones dadas usando dos métodos: la definición de derivada y las reglas de derivación.
---
### Parte 1: Aplicar la definición de derivada $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
**a) Para $f(x) = x^2 - 2x + 1$**
1. Calculamos $f(x+h)$:
$$f(x+h) = (x+h)^2 - 2(x+h) + 1 = x^2 + 2xh + h^2 - 2x - 2h + 1$$
2. Sustituimos en la definición:
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{(x^2 + 2xh + h^2 - 2x - 2h + 1) - (x^2 - 2x + 1)}{h} = \frac{2xh + h^2 - 2h}{h}$$
3. Simplificamos cancelando $h$:
$$\frac{\cancel{h}(2x + h - 2)}{\cancel{h}} = 2x + h - 2$$
4. Tomamos el límite cuando $h \to 0$:
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h - 2) = 2x - 2$$
**Respuesta:** $f'(x) = 2x - 2$
---
**b) Para $f(x) = x^3 - 4x + 5$**
1. Calculamos $f(x+h)$:
$$f(x+h) = (x+h)^3 - 4(x+h) + 5 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 4x - 4h + 5$$
2. Sustituimos en la definición:
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 4x - 4h + 5) - (x^3 - 4x + 5)}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 4h}{h}$$
3. Simplificamos cancelando $h$:
$$\frac{\cancel{h}(3x^2 + 3xh + h^2 - 4)}{\cancel{h}} = 3x^2 + 3xh + h^2 - 4$$
4. Tomamos el límite cuando $h \to 0$:
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 - 4) = 3x^2 - 4$$
**Respuesta:** $f'(x) = 3x^2 - 4$
---
**c) Para $f(x) = \sqrt{x - 3} = (x-3)^{1/2}$**
1. Calculamos $f(x+h)$:
$$f(x+h) = \sqrt{x + h - 3} = (x + h - 3)^{1/2}$$
2. Sustituimos en la definición:
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{(x + h - 3)^{1/2} - (x - 3)^{1/2}}{h}$$
3. Para simplificar, multiplicamos por el conjugado:
$$\frac{(x + h - 3)^{1/2} - (x - 3)^{1/2}}{h} \cdot \frac{(x + h - 3)^{1/2} + (x - 3)^{1/2}}{(x + h - 3)^{1/2} + (x - 3)^{1/2}} = \frac{(x + h - 3) - (x - 3)}{h \left[(x + h - 3)^{1/2} + (x - 3)^{1/2}\right]} = \frac{h}{h \left[(x + h - 3)^{1/2} + (x - 3)^{1/2}\right]}$$
4. Simplificamos cancelando $h$:
$$\frac{\cancel{h}}{\cancel{h} \left[(x + h - 3)^{1/2} + (x - 3)^{1/2}\right]} = \frac{1}{(x + h - 3)^{1/2} + (x - 3)^{1/2}}$$
5. Tomamos el límite cuando $h \to 0$:
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + h - 3)^{1/2} + (x - 3)^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{x - 3}}$$
**Respuesta:** $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 3}}$
---
**d) Para $f(x) = x - 9$**
1. Calculamos $f(x+h)$:
$$f(x+h) = (x + h) - 9 = x + h - 9$$
2. Sustituimos en la definición:
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{(x + h - 9) - (x - 9)}{h} = \frac{h}{h}$$
3. Simplificamos cancelando $h$:
$$\frac{\cancel{h}}{\cancel{h}} = 1$$
4. Tomamos el límite cuando $h \to 0$:
$$f'(x) = 1$$
**Respuesta:** $f'(x) = 1$
---
### Parte 2: Derivadas usando reglas de derivación
Recordemos algunas reglas básicas:
- La derivada de una constante es 0.
- La derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$.
- La derivada de una suma es la suma de las derivadas.
- La regla del producto: $(uv)' = u'v + uv'$.
- La regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
1. $y = 95$
$$y' = 0$$
2. $y = 43 + x$
$$y' = 0 + 1 = 1$$
3. $y = 8x - 15$
$$y' = 8 - 0 = 8$$
4. $y = x^{1/3} + 8x$
$$y' = \frac{1}{3}x^{-2/3} + 8$$
5. $y = -x^4 + 7x^5 - 3x^{-5}$
$$y' = -4x^3 + 35x^4 + 15x^{-6}$$
6. $y = x^3(3x + 2)$
Aplicamos la regla del producto:
$$u = x^3, \quad v = 3x + 2$$
$$u' = 3x^2, \quad v' = 3$$
$$y' = u'v + uv' = 3x^2(3x + 2) + x^3(3) = 9x^3 + 6x^2 + 3x^3 = 12x^3 + 6x^2$$
7. $y = \frac{10}{5x - 9} = 10(5x - 9)^{-1}$
Usamos la regla de la cadena:
$$y' = 10 \cdot (-1)(5x - 9)^{-2} \cdot 5 = -50(5x - 9)^{-2} = -\frac{50}{(5x - 9)^2}$$
8. $y = \frac{x^5 - 3}{x^5 + 3}$
Sea $u = x^5 - 3$, $v = x^5 + 3$
Derivadas:
$$u' = 5x^4, \quad v' = 5x^4$$
Por la regla del cociente:
$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{5x^4(x^5 + 3) - (x^5 - 3)5x^4}{(x^5 + 3)^2} = \frac{5x^4[(x^5 + 3) - (x^5 - 3)]}{(x^5 + 3)^2} = \frac{5x^4(6)}{(x^5 + 3)^2} = \frac{30x^4}{(x^5 + 3)^2}$$
9. $y = (5x^2 - 3)(x^2 + 4)$
Sea $u = 5x^2 - 3$, $v = x^2 + 4$
Derivadas:
$$u' = 10x, \quad v' = 2x$$
Por la regla del producto:
$$y' = u'v + uv' = 10x(x^2 + 4) + (5x^2 - 3)(2x) = 10x^3 + 40x + 10x^3 - 6x = 20x^3 + 34x$$
10. $y = 9x^{100} - 4x + 7x^8 + 9$
Derivamos término a término:
$$y' = 9 \cdot 100 x^{99} - 4 + 7 \cdot 8 x^7 + 0 = 900x^{99} - 4 + 56x^7$$
11. $y = \frac{x}{x^4 + 1}$
Sea $u = x$, $v = x^4 + 1$
Derivadas:
$$u' = 1, \quad v' = 4x^3$$
Por la regla del cociente:
$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{1 \cdot (x^4 + 1) - x \cdot 4x^3}{(x^4 + 1)^2} = \frac{x^4 + 1 - 4x^4}{(x^4 + 1)^2} = \frac{-3x^4 + 1}{(x^4 + 1)^2}$$
---
**Resumen:** Hemos calculado las derivadas usando la definición y las reglas de derivación para todas las funciones dadas.