Derivadas Ejercicios 789Bec

1. Problema: Derivar $f(x) = x^3$. Fórmula: La derivada de $x^n$ es $$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$$. Paso 1: Aplicar la fórmula con $n=3$. Paso 2: $$\frac{d}{dx}x^3 = 3x^{3-1} = 3x^2$$. Respuesta: $f'(x) = 3x^2$. 2. Problema: Derivar $f(x) = 5x^4$. Paso 1: Usar la regla de la constante multiplicativa: $$\frac{d}{dx}[cf(x)] = c\frac{d}{dx}f(x)$$. Paso 2: Derivar $x^4$ como antes: $$4x^{3}$$. Paso 3: Multiplicar por $5$: $$5 \times 4x^3 = 20x^3$$. Respuesta: $f'(x) = 20x^3$. 3. Problema: Derivar $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$. Paso 1: Aplicar la fórmula para potencias: $$\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$$. Paso 2: Reescribir como raíz: $$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$. Respuesta: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. 4. Problema: Derivar $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$. Paso 1: Aplicar la fórmula para potencias: $$\frac{d}{dx}x^{-2} = -2x^{-3}$$. Paso 2: Reescribir: $$-\frac{2}{x^3}$$. Respuesta: $f'(x) = -\frac{2}{x^3}$. 5. Problema: Derivar $f(x) = 3x^5 - 2x^3 + x$. Paso 1: Derivar término a término: $$\frac{d}{dx}3x^5 = 15x^4$$ $$\frac{d}{dx}(-2x^3) = -6x^2$$ $$\frac{d}{dx}x = 1$$ Paso 2: Sumar resultados: $$15x^4 - 6x^2 + 1$$. Respuesta: $f'(x) = 15x^4 - 6x^2 + 1$. 6. Problema: Derivar $f(x) = e^x$. Paso 1: La derivada de $e^x$ es $e^x$. Respuesta: $f'(x) = e^x$. 7. Problema: Derivar $f(x) = \ln(x)$. Paso 1: La derivada de $\ln(x)$ es $$\frac{1}{x}$$. Respuesta: $f'(x) = \frac{1}{x}$. 8. Problema: Derivar $f(x) = \sin(x)$. Paso 1: La derivada de $\sin(x)$ es $\cos(x)$. Respuesta: $f'(x) = \cos(x)$. 9. Problema: Derivar $f(x) = \cos(x)$. Paso 1: La derivada de $\cos(x)$ es $-\sin(x)$. Respuesta: $f'(x) = -\sin(x)$. 10. Problema: Derivar $f(x) = x^2 \cdot \sin(x)$. Paso 1: Usar la regla del producto: $$\frac{d}{dx}[u\cdot v] = u'v + uv'$$. Paso 2: Sea $u = x^2$, $v = \sin(x)$. Paso 3: Derivar $u$: $$u' = 2x$$. Paso 4: Derivar $v$: $$v' = \cos(x)$$. Paso 5: Aplicar regla del producto: $$f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)$$. Respuesta: $f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)$.