Question: Crea un video educativo animado en español que explique este ejercicio de cálculo integral paso a paso. Interpreta la integral en términos de áreas geométricas. Muestra la gráfica de la función, identifica y colorea la región correspondiente entre $x=2$ y $x=4$, explica que la región tiene forma de trapecio y muestra la fórmula para calcular su área. Explica que, como la región está por debajo del eje $x$, el área debe considerarse negativa. Muestra todas las operaciones en pantalla hasta llegar al resultado final. Usa animaciones, figuras y fórmulas que aparezcan progresivamente, con una narración clara en español como un profesor explicando en una clase universitaria. No inventes datos que no aparezcan en el ejercicio.
1. Planteamos el problema: calcular la integral definida $$\int_2^4 (1 - x) \, dx$$.
2. Interpretamos la integral como el área bajo la curva de la función $$f(x) = 1 - x$$ desde $$x=2$$ hasta $$x=4$$.
3. Observamos que la función es una recta decreciente que cruza el eje $$x$$ en $$x=1$$, por lo que en el intervalo $$[2,4]$$ la función está por debajo del eje $$x$$.
4. La región bajo la curva y sobre el eje $$x$$ entre $$x=2$$ y $$x=4$$ tiene forma de trapecio.
5. La fórmula para el área de un trapecio es $$A = \frac{(B + b)}{2} \times h$$, donde $$B$$ y $$b$$ son las longitudes de las bases y $$h$$ es la altura.
6. Calculamos los valores de la función en los extremos del intervalo:
$$f(2) = 1 - 2 = -1$$
$$f(4) = 1 - 4 = -3$$
7. Las bases del trapecio son $$|f(2)| = 1$$ y $$|f(4)| = 3$$, y la altura es $$4 - 2 = 2$$.
8. Calculamos el área:
$$A = \frac{(1 + 3)}{2} \times 2 = \frac{4}{2} \times 2 = 2 \times 2 = 4$$
9. Como la función está por debajo del eje $$x$$, el valor de la integral es negativo, por lo que:
$$\int_2^4 (1 - x) \, dx = -4$$
10. Verificación mediante cálculo directo:
$$\int (1 - x) \, dx = x - \frac{x^2}{2} + C$$
Evaluando en los límites:
$$\left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_2^4 = \left(4 - \frac{16}{2}\right) - \left(2 - \frac{4}{2}\right) = (4 - 8) - (2 - 2) = -4 - 0 = -4$$
11. Resultado final:
$$\boxed{-4}$$