Integral Doble 8C7A89

1. **Planteamiento del problema:** Calcular la integral doble $$\int_0^1 \left( \int_{-y}^y e^{x+y} \, dx \right) dy$$. 2. **Fórmula y reglas importantes:** La integral interna es respecto a $x$ con $y$ constante, y la externa respecto a $y$. 3. **Resolver la integral interna:** $$\int_{-y}^y e^{x+y} \, dx = e^y \int_{-y}^y e^x \, dx$$ 4. Evaluamos la integral de $e^x$: $$\int_{-y}^y e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{-y}^y = e^y - e^{-y}$$ 5. Por lo tanto, $$\int_{-y}^y e^{x+y} \, dx = e^y (e^y - e^{-y}) = e^{2y} - e^0 = e^{2y} - 1$$ 6. Ahora la integral externa: $$\int_0^1 (e^{2y} - 1) \, dy = \int_0^1 e^{2y} \, dy - \int_0^1 1 \, dy$$ 7. Calculamos cada integral: $$\int_0^1 e^{2y} \, dy = \left[ \frac{e^{2y}}{2} \right]_0^1 = \frac{e^2 - 1}{2}$$ $$\int_0^1 1 \, dy = [y]_0^1 = 1$$ 8. Restamos: $$\frac{e^2 - 1}{2} - 1 = \frac{e^2 - 1 - 2}{2} = \frac{e^2 - 3}{2}$$ **Respuesta final:** $$\int_0^1 \left( \int_{-y}^y e^{x+y} \, dx \right) dy = \frac{e^2 - 3}{2}$$