Integral Raiz Cuadrada A0Fc7E

1. Planteamos el problema: calcular la integral $$\int \sqrt{x^2 - 9} \, dx$$. 2. Para resolver esta integral, usamos la sustitución trigonométrica porque la expresión bajo la raíz es de la forma $$x^2 - a^2$$, donde $$a=3$$. 3. La sustitución es $$x = 3\sec(\theta)$$, entonces $$dx = 3\sec(\theta)\tan(\theta) d\theta$$. 4. Reemplazamos en la integral: $$\int \sqrt{(3\sec(\theta))^2 - 9} \cdot 3\sec(\theta)\tan(\theta) d\theta = \int \sqrt{9\sec^2(\theta) - 9} \cdot 3\sec(\theta)\tan(\theta) d\theta$$ 5. Simplificamos dentro de la raíz: $$\sqrt{9(\sec^2(\theta) - 1)} = \sqrt{9\tan^2(\theta)} = 3|\tan(\theta)|$$. 6. Para el intervalo considerado, tomamos $$\tan(\theta) \geq 0$$, entonces: $$3\tan(\theta)$$. 7. La integral queda: $$\int 3\tan(\theta) \cdot 3\sec(\theta)\tan(\theta) d\theta = \int 9 \sec(\theta) \tan^2(\theta) d\theta$$. 8. Usamos la identidad $$\tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) - 1$$: $$\int 9 \sec(\theta) (\sec^2(\theta) - 1) d\theta = 9 \int (\sec^3(\theta) - \sec(\theta)) d\theta$$. 9. La integral se separa: $$9 \int \sec^3(\theta) d\theta - 9 \int \sec(\theta) d\theta$$. 10. Sabemos que: $$\int \sec(\theta) d\theta = \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C$$ 11. Y la integral de $$\sec^3(\theta)$$ es: $$\int \sec^3(\theta) d\theta = \frac{1}{2} \sec(\theta) \tan(\theta) + \frac{1}{2} \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C$$ 12. Entonces: $$9 \left( \frac{1}{2} \sec(\theta) \tan(\theta) + \frac{1}{2} \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| \right) - 9 \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C$$ 13. Simplificamos: $$\frac{9}{2} \sec(\theta) \tan(\theta) + \frac{9}{2} \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| - 9 \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C = \frac{9}{2} \sec(\theta) \tan(\theta) - \frac{9}{2} \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C$$ 14. Volvemos a la variable $$x$$ usando $$x = 3\sec(\theta)$$ y $$\tan(\theta) = \sqrt{\sec^2(\theta) - 1} = \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{3}$$: $$\sec(\theta) = \frac{x}{3}, \quad \tan(\theta) = \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{3}$$ 15. Sustituimos: $$\frac{9}{2} \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{3} - \frac{9}{2} \ln \left| \frac{x}{3} + \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{3} \right| + C = \frac{9}{2} \cdot \frac{x \sqrt{x^2 - 9}}{9} - \frac{9}{2} \ln \left| \frac{x + \sqrt{x^2 - 9}}{3} \right| + C$$ 16. Simplificamos: $$\frac{x \sqrt{x^2 - 9}}{2} - \frac{9}{2} \ln \left| \frac{x + \sqrt{x^2 - 9}}{3} \right| + C$$ 17. Podemos escribir la constante de integración absorbbiendo el $$\ln(3)$$: $$\frac{x \sqrt{x^2 - 9}}{2} - \frac{9}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 - 9}| + C$$ **Respuesta final:** $$\int \sqrt{x^2 - 9} \, dx = \frac{x \sqrt{x^2 - 9}}{2} - \frac{9}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 - 9}| + C$$