Question: Como puedo resolver esta integral? $\int \frac{8ax}{4x^4+49} \, dx$

1. **Planteamiento del problema:** Queremos resolver la integral $\int \frac{8ax}{4x^4+49} \, dx$. 2. **Observación y fórmula:** La integral tiene la forma $\int \frac{f'(x)}{g(x)} \, dx$ donde el numerador es proporcional a la derivada del denominador. Esto sugiere usar el método de sustitución. 3. **Sustitución:** Sea $u = 4x^4 + 49$. 4. Derivamos $u$ respecto a $x$: $$\frac{du}{dx} = 16x^3$$ 5. En la integral, el numerador es $8ax$, que no coincide directamente con $16x^3$. Por lo tanto, intentamos reescribir la integral para facilitar la sustitución. 6. Reescribimos el denominador como $4x^4 + 49 = (2x^2)^2 + 7^2$, lo que sugiere una integral tipo $\int \frac{x}{x^4 + a^2} dx$ que puede resolverse con una sustitución trigonométrica o por partes. 7. Intentamos la sustitución $t = x^2$, entonces $dt = 2x dx$ o $x dx = \frac{dt}{2}$. 8. Reescribimos la integral en términos de $t$: $$\int \frac{8a x}{4x^4 + 49} dx = \int \frac{8a x}{4 t^2 + 49} dx = \int \frac{8a}{4 t^2 + 49} x dx = \int \frac{8a}{4 t^2 + 49} \cdot \frac{dt}{2} = 4a \int \frac{dt}{4 t^2 + 49}$$ 9. Simplificamos la integral: $$4a \int \frac{dt}{4 t^2 + 49} = 4a \int \frac{dt}{(2t)^2 + 7^2}$$ 10. Usamos la fórmula estándar para integrales del tipo $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C$. 11. Hacemos la sustitución $w = 2t$, entonces $dw = 2 dt$ o $dt = \frac{dw}{2}$. 12. La integral queda: $$4a \int \frac{dt}{w^2 + 7^2} = 4a \int \frac{\frac{dw}{2}}{w^2 + 7^2} = 2a \int \frac{dw}{w^2 + 7^2}$$ 13. Aplicamos la fórmula: $$2a \cdot \frac{1}{7} \arctan \left( \frac{w}{7} \right) + C = \frac{2a}{7} \arctan \left( \frac{2t}{7} \right) + C$$ 14. Regresamos a la variable original $x$: $$\frac{2a}{7} \arctan \left( \frac{2x^2}{7} \right) + C$$ **Respuesta final:** $$\int \frac{8ax}{4x^4 + 49} \, dx = \frac{2a}{7} \arctan \left( \frac{2x^2}{7} \right) + C$$