Limites Calculo 0564Ab

1. **Problema a:** Calcular $$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + x - 2}{x^3 - 4x}$$ 2. **Factorizamos numerador y denominador:** $$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$$ $$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$$ 3. **Simplificamos la expresión:** $$\frac{(x + 2)(x - 1)}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{\cancel{(x + 2)}(x - 1)}{x(x - 2)\cancel{(x + 2)}} = \frac{x - 1}{x(x - 2)}$$ 4. **Evaluamos el límite sustituyendo $x = -2$:** $$\frac{-2 - 1}{-2(-2 - 2)} = \frac{-3}{-2(-4)} = \frac{-3}{8} = -\frac{3}{8}$$ --- 5. **Problema b:** Calcular $$\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 2x + 3}{2(x + 1)(x - 1)}$$ 6. **Expandimos el denominador:** $$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$$ Entonces el límite es: $$\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 2x + 3}{2(x^2 - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 2x + 3}{2x^2 - 2}$$ 7. **Dividimos numerador y denominador por $x^2$ (el mayor grado en denominador):** $$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^3}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{3}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{2 - \frac{2}{x^2}}$$ 8. **Cuando $x \to \infty$, los términos con $\frac{1}{x}$ y $\frac{1}{x^2}$ tienden a 0:** $$\lim_{x \to \infty} \frac{5x - 0 + 0}{2 - 0} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x}{2} = \infty$$ El límite es infinito. --- 9. **Problema c:** Calcular $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \cos(4x)}{x}$$ 10. **Usamos la propiedad que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$ y que $\cos(0) = 1$:** Reescribimos la expresión: $$\frac{\sin(3x) \cos(4x)}{x} = \cos(4x) \cdot \frac{\sin(3x)}{x}$$ 11. **Evaluamos el límite:** $$\lim_{x \to 0} \cos(4x) = \cos(0) = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3$$ 12. **Por lo tanto:** $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \cos(4x)}{x} = 1 \times 3 = 3$$ --- 13. **Problema d:** Calcular $$\lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x^2 - 14x + 49}$$ 14. **Notamos que el denominador es un trinomio cuadrado perfecto:** $$x^2 - 14x + 49 = (x - 7)^2$$ 15. **Racionalizamos el numerador multiplicando y dividiendo por el conjugado:** $$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{(x - 7)^2} \times \frac{\sqrt{x} + \sqrt{7}}{\sqrt{x} + \sqrt{7}} = \frac{x - 7}{(x - 7)^2 (\sqrt{x} + \sqrt{7})} = \frac{1}{(x - 7)(\sqrt{x} + \sqrt{7})}$$ 16. **Simplificamos cancelando un factor $(x - 7)$:** $$\frac{\cancel{x - 7}}{(\cancel{x - 7})(x - 7)(\sqrt{x} + \sqrt{7})} = \frac{1}{(x - 7)(\sqrt{x} + \sqrt{7})}$$ 17. **Evaluamos el límite sustituyendo $x = 7$:** $$\lim_{x \to 7} \frac{1}{(x - 7)(\sqrt{x} + \sqrt{7})} = \frac{1}{0 \times (\sqrt{7} + \sqrt{7})} = \frac{1}{0}$$ El límite tiende a infinito o no existe finito. 18. **Para determinar el comportamiento, analizamos el signo cerca de 7:** - Para $x > 7$, $(x - 7) > 0$ y el denominador es positivo muy pequeño, entonces el límite tiende a $+\infty$. - Para $x < 7$, $(x - 7) < 0$ y el denominador es negativo muy pequeño, entonces el límite tiende a $-\infty$. Por lo tanto, el límite no existe (hay una discontinuidad infinita).