Puntos Inflexion 9703A8

1. Planteamos el problema: Encontrar los puntos de inflexión de la función $$f(x) = \frac{x^2}{x^3 + x}$$. 2. Recordemos que los puntos de inflexión ocurren donde la segunda derivada cambia de signo, es decir, donde $$f''(x) = 0$$ o no está definida. 3. Primero, simplificamos la función: $$f(x) = \frac{x^2}{x^3 + x} = \frac{x^2}{x(x^2 + 1)} = \frac{x^2}{x(x^2 + 1)}$$ para $$x \neq 0$$. 4. Simplificamos cancelando un factor $$x$$ en numerador y denominador: $$f(x) = \frac{\cancel{x} x}{\cancel{x}(x^2 + 1)} = \frac{x}{x^2 + 1}$$ para $$x \neq 0$$. 5. Calculamos la primera derivada usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(1)(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$. 6. Calculamos la segunda derivada usando la regla del cociente y la derivada del numerador y denominador: Sea $$u = 1 - x^2$$ y $$v = (x^2 + 1)^2$$. Entonces, $$u' = -2x$$ $$v' = 2(x^2 + 1)(2x) = 4x(x^2 + 1)$$. Por la regla del cociente: $$f''(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{-2x (x^2 + 1)^2 - (1 - x^2) 4x (x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^4}$$. 7. Simplificamos el numerador: $$-2x (x^2 + 1)^2 - 4x (1 - x^2)(x^2 + 1) = -2x (x^2 + 1)^2 - 4x (1 - x^2)(x^2 + 1)$$. Sacamos factor común $$-2x (x^2 + 1)$$: $$-2x (x^2 + 1) \left( (x^2 + 1) + 2(1 - x^2) \right)$$. Calculamos el término entre paréntesis: $$(x^2 + 1) + 2(1 - x^2) = x^2 + 1 + 2 - 2x^2 = -x^2 + 3$$. Entonces el numerador es: $$-2x (x^2 + 1)(-x^2 + 3) = 2x (x^2 + 1)(x^2 - 3)$$. 8. Por lo tanto, $$f''(x) = \frac{2x (x^2 + 1)(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^4} = \frac{2x (x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3}$$. 9. Para encontrar puntos de inflexión, igualamos $$f''(x) = 0$$: $$2x (x^2 - 3) = 0$$. Esto implica: $$x = 0$$ o $$x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$$. 10. Verificamos que $$f(x)$$ esté definida en estos puntos: - En $$x=0$$, la función original no está definida (denominador $$x^3 + x = 0$$). - En $$x = \pm \sqrt{3}$$, la función está definida. 11. Por lo tanto, los puntos de inflexión son en $$x = \pm \sqrt{3}$$. 12. Calculamos los valores de la función en esos puntos: $$f(\pm \sqrt{3}) = \frac{\pm \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 1} = \frac{\pm \sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{\pm \sqrt{3}}{4}$$. 13. Respuesta final: Los puntos de inflexión de $$f(x)$$ son $$\left(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$$ y $$\left(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$$.