Wronskiano Independencia F61362

1. **Planteamiento del problema:** Calcular el Wronskiano de las funciones $y_1 = x$, $y_2 = e^x$, $y_3 = x^2$ y determinar si son linealmente independientes. 2. **Definición del Wronskiano:** El Wronskiano de tres funciones $y_1$, $y_2$, $y_3$ es la determinante de la matriz cuyas filas son las funciones y sus derivadas hasta el orden dos: $$W(y_1,y_2,y_3) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \\ y_1' & y_2' & y_3' \\ y_1'' & y_2'' & y_3'' \end{vmatrix}$$ 3. **Calcular derivadas:** - $y_1 = x$, $y_1' = 1$, $y_1'' = 0$ - $y_2 = e^x$, $y_2' = e^x$, $y_2'' = e^x$ - $y_3 = x^2$, $y_3' = 2x$, $y_3'' = 2$ 4. **Formar la matriz del Wronskiano:** $$\begin{vmatrix} x & e^x & x^2 \\ 1 & e^x & 2x \\ 0 & e^x & 2 \end{vmatrix}$$ 5. **Calcular el determinante:** $$W = x \begin{vmatrix} e^x & 2x \\ e^x & 2 \end{vmatrix} - e^x \begin{vmatrix} 1 & 2x \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + x^2 \begin{vmatrix} 1 & e^x \\ 0 & e^x \end{vmatrix}$$ 6. **Determinantes de las submatrices:** - $\begin{vmatrix} e^x & 2x \\ e^x & 2 \end{vmatrix} = e^x \cdot 2 - e^x \cdot 2x = 2e^x - 2xe^x = 2e^x(1 - x)$ - $\begin{vmatrix} 1 & 2x \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 0 \cdot 2x = 2$ - $\begin{vmatrix} 1 & e^x \\ 0 & e^x \end{vmatrix} = 1 \cdot e^x - 0 \cdot e^x = e^x$ 7. **Sustituir y simplificar:** $$W = x \cdot 2e^x(1 - x) - e^x \cdot 2 + x^2 \cdot e^x = 2xe^x(1 - x) - 2e^x + x^2 e^x$$ 8. **Distribuir y agrupar términos:** $$2xe^x - 2x^2 e^x - 2e^x + x^2 e^x = (2xe^x - 2e^x) + (-2x^2 e^x + x^2 e^x) = 2e^x(x - 1) - x^2 e^x$$ 9. **Factorizar:** $$W = e^x (2(x - 1) - x^2) = e^x (2x - 2 - x^2) = e^x (-x^2 + 2x - 2)$$ 10. **Conclusión:** El Wronskiano es $$W = e^x (-x^2 + 2x - 2)$$. Como $e^x \neq 0$ para todo $x$, el signo y valor de $W$ depende del polinomio $-x^2 + 2x - 2$. Este polinomio no es idénticamente cero, por lo que el Wronskiano no es cero para todo $x$. Por lo tanto, las funciones $y_1$, $y_2$ y $y_3$ son linealmente independientes.