Wronskiano Tres Funciones 171F1D

1. Planteamos el problema: calcular el Wronskiano de las funciones $y_1(x)=\cos x$, $y_2(x)=\sen x$, $y_3(x)=1$. 2. Recordemos que el Wronskiano de tres funciones $y_1$, $y_2$, $y_3$ es el determinante de la matriz cuyas filas son las funciones y sus derivadas hasta el orden dos: $$W(y_1,y_2,y_3)(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \\ y_1' & y_2' & y_3' \\ y_1'' & y_2'' & y_3'' \end{vmatrix}$$ 3. Calculamos las derivadas: - $y_1(x) = \cos x$ - $y_1'(x) = -\sen x$ - $y_1''(x) = -\cos x$ - $y_2(x) = \sen x$ - $y_2'(x) = \cos x$ - $y_2''(x) = -\sen x$ - $y_3(x) = 1$ - $y_3'(x) = 0$ - $y_3''(x) = 0$ 4. Formamos la matriz: $$M = \begin{pmatrix} \cos x & \sen x & 1 \\ -\sen x & \cos x & 0 \\ -\cos x & -\sen x & 0 \end{pmatrix}$$ 5. Calculamos el determinante $W = \det(M)$: $$W = \cos x \begin{vmatrix} \cos x & 0 \\ -\sen x & 0 \end{vmatrix} - \sen x \begin{vmatrix} -\sen x & 0 \\ -\cos x & 0 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -\sen x & \cos x \\ -\cos x & -\sen x \end{vmatrix}$$ 6. Los dos primeros menores son: $$\begin{vmatrix} \cos x & 0 \\ -\sen x & 0 \end{vmatrix} = \cos x \cdot 0 - 0 \cdot (-\sen x) = 0$$ $$\begin{vmatrix} -\sen x & 0 \\ -\cos x & 0 \end{vmatrix} = -\sen x \cdot 0 - 0 \cdot (-\cos x) = 0$$ 7. El tercer menor es: $$\begin{vmatrix} -\sen x & \cos x \\ -\cos x & -\sen x \end{vmatrix} = (-\sen x)(-\sen x) - (\cos x)(-\cos x) = \sen^2 x + \cos^2 x$$ 8. Por lo tanto: $$W = 0 - 0 + 1 \cdot (\sen^2 x + \cos^2 x) = \sen^2 x + \cos^2 x$$ 9. Usando la identidad trigonométrica fundamental: $$\sen^2 x + \cos^2 x = 1$$ 10. Resultado final: $$\boxed{W(y_1,y_2,y_3)(x) = 1}$$ Esto indica que las funciones $\cos x$, $\sen x$ y $1$ son linealmente independientes.