Integrale Definito 5B7575

1. Il problema richiede di calcolare l'integrale definito da 9 a 16 della funzione $$\ln\left(\frac{x^{3/2} -8}{x^{1}-2}\right)$$ rispetto a $$x$$. 2. La funzione da integrare è $$f(x) = \ln\left(\frac{x^{3/2} -8}{x - 2}\right)$$. 3. Per semplificare, osserviamo che $$x^{3/2} = (\sqrt{x})^3$$ e che $$x - 2$$ è al denominatore. 4. Calcoliamo il valore dell'integrale definito: $$I = \int_9^{16} \ln\left(\frac{x^{3/2} -8}{x - 2}\right) dx$$ 5. Notiamo che $$x^{3/2} = (\sqrt{x})^3$$ e che $$8 = 2^3$$, quindi: $$x^{3/2} - 8 = (\sqrt{x})^3 - 2^3$$ 6. Possiamo fattorizzare la differenza di cubi: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$ con $$a = \sqrt{x}$$ e $$b = 2$$: $$x^{3/2} - 8 = (\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4)$$ 7. Quindi la funzione diventa: $$\ln\left(\frac{(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4)}{x - 2}\right)$$ 8. Osserviamo che $$x - 2 = (\sqrt{x})^2 - 2$$, ma non è immediatamente fattorizzabile come $$\sqrt{x} - 2$$. Tuttavia, possiamo scrivere: $$\frac{(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4)}{x - 2} = \frac{(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4)}{(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}$$ ma questa non semplifica direttamente. 9. Invece, notiamo che $$x - 2$$ non è uguale a $$\sqrt{x} - 2$$, quindi non possiamo semplificare direttamente. 10. Per procedere, possiamo riscrivere l'integrale come: $$I = \int_9^{16} \ln\left(\frac{(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4)}{x - 2}\right) dx = \int_9^{16} \ln(\sqrt{x} - 2) dx + \int_9^{16} \ln(x + 2\sqrt{x} + 4) dx - \int_9^{16} \ln(x - 2) dx$$ 11. Ora calcoliamo ciascun integrale separatamente. 12. Primo integrale: $$I_1 = \int_9^{16} \ln(\sqrt{x} - 2) dx$$ 13. Sostituiamo $$t = \sqrt{x} - 2$$, quindi $$\sqrt{x} = t + 2$$ e $$x = (t + 2)^2$$. 14. Derivando: $$dx = 2(t + 2) dt$$ 15. Cambiamo i limiti: Quando $$x=9$$, $$\sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1$$, quindi $$t=1$$. Quando $$x=16$$, $$\sqrt{16} - 2 = 4 - 2 = 2$$, quindi $$t=2$$. 16. Quindi: $$I_1 = \int_1^2 \ln(t) \cdot 2(t + 2) dt = 2 \int_1^2 (t + 2) \ln(t) dt$$ 17. Separiamo l'integrale: $$I_1 = 2 \left( \int_1^2 t \ln(t) dt + 2 \int_1^2 \ln(t) dt \right)$$ 18. Calcoliamo $$\int t \ln(t) dt$$ usando integrazione per parti: Sia $$u = \ln(t)$$, $$dv = t dt$$, allora $$du = \frac{1}{t} dt$$, $$v = \frac{t^2}{2}$$. Quindi: $$\int t \ln(t) dt = \frac{t^2}{2} \ln(t) - \int \frac{t^2}{2} \cdot \frac{1}{t} dt = \frac{t^2}{2} \ln(t) - \frac{1}{2} \int t dt = \frac{t^2}{2} \ln(t) - \frac{t^2}{4} + C$$ 19. Calcoliamo $$\int \ln(t) dt$$: Usiamo integrazione per parti con $$u = \ln(t)$$, $$dv = dt$$, quindi $$du = \frac{1}{t} dt$$, $$v = t$$: $$\int \ln(t) dt = t \ln(t) - t + C$$ 20. Ora calcoliamo i valori definiti: $$\int_1^2 t \ln(t) dt = \left[ \frac{t^2}{2} \ln(t) - \frac{t^2}{4} \right]_1^2 = \left( \frac{4}{2} \ln(2) - \frac{4}{4} \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{4} \right) = (2 \ln(2) - 1) - (0 - 0.25) = 2 \ln(2) - 0.75$$ $$\int_1^2 \ln(t) dt = \left[ t \ln(t) - t \right]_1^2 = (2 \ln(2) - 2) - (0 - 1) = 2 \ln(2) - 1$$ 21. Quindi: $$I_1 = 2 \left( 2 \ln(2) - 0.75 + 2(2 \ln(2) - 1) \right) = 2 \left( 2 \ln(2) - 0.75 + 4 \ln(2) - 2 \right) = 2 \left( 6 \ln(2) - 2.75 \right) = 12 \ln(2) - 5.5$$ 22. Secondo integrale: $$I_2 = \int_9^{16} \ln(x + 2\sqrt{x} + 4) dx$$ 23. Notiamo che: $$x + 2\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x} + 1)^2 + 3$$ 24. Questo integrale è complesso e non si semplifica facilmente, quindi lo lasciamo espresso così o si calcola numericamente. 25. Terzo integrale: $$I_3 = \int_9^{16} \ln(x - 2) dx$$ 26. Usiamo integrazione per parti: Sia $$u = \ln(x - 2)$$, $$dv = dx$$, quindi $$du = \frac{1}{x - 2} dx$$, $$v = x$$. Quindi: $$I_3 = \left. x \ln(x - 2) \right|_9^{16} - \int_9^{16} \frac{x}{x - 2} dx$$ 27. Semplifichiamo l'integrale: $$\frac{x}{x - 2} = 1 + \frac{2}{x - 2}$$ Quindi: $$\int_9^{16} \frac{x}{x - 2} dx = \int_9^{16} 1 dx + 2 \int_9^{16} \frac{1}{x - 2} dx = (16 - 9) + 2 \left[ \ln|x - 2| \right]_9^{16} = 7 + 2 (\ln(14) - \ln(7)) = 7 + 2 \ln(2)$$ 28. Quindi: $$I_3 = (16 \ln(14) - 9 \ln(7)) - (7 + 2 \ln(2)) = 16 \ln(14) - 9 \ln(7) - 7 - 2 \ln(2)$$ 29. Infine, l'integrale totale è: $$I = I_1 + I_2 - I_3 = (12 \ln(2) - 5.5) + I_2 - (16 \ln(14) - 9 \ln(7) - 7 - 2 \ln(2))$$ 30. Semplificando i termini noti: $$I = 12 \ln(2) - 5.5 + I_2 - 16 \ln(14) + 9 \ln(7) + 7 + 2 \ln(2) = I_2 + (14 \ln(2) + 9 \ln(7) - 16 \ln(14) + 1.5)$$ 31. Poiché $$I_2$$ è complesso, si consiglia di calcolarlo numericamente per ottenere il valore finale. **Risposta finale:** L'integrale definito è espresso come $$I = \int_9^{16} \ln(x + 2\sqrt{x} + 4) dx + 14 \ln(2) + 9 \ln(7) - 16 \ln(14) + 1.5$$, dove il primo integrale può essere calcolato numericamente.