Integrale Logaritmo 8Afd4D

1. **Enunciare il problema:** Calcolare l'integrale definito $$\int_9^{16} \frac{\ln\left(x^{3/2} - 8\right)}{x^{1/2}} \, dx.$$\n\n2. **Osservare la funzione integranda:** La funzione è $$f(x) = \frac{\ln\left(x^{3/2} - 8\right)}{x^{1/2}}.$$\n\n3. **Scegliere una sostituzione:** Poniamo $$t = x^{3/2} - 8.$$\nCalcoliamo la derivata di $t$ rispetto a $x$:\n$$\frac{dt}{dx} = \frac{3}{2} x^{1/2}.$$\nQuindi, $$dt = \frac{3}{2} x^{1/2} dx \implies dx = \frac{2}{3} \frac{dt}{x^{1/2}}.$$\n\n4. **Riscrivere l'integrale in termini di $t$:**\nSostituendo nella funzione integranda e nell'integrale:\n$$\int_9^{16} \frac{\ln\left(x^{3/2} - 8\right)}{x^{1/2}} dx = \int_{t(9)}^{t(16)} \ln(t) \cdot \frac{1}{x^{1/2}} \cdot dx.$$\nMa da $dx = \frac{2}{3} \frac{dt}{x^{1/2}}$, otteniamo:\n$$\frac{1}{x^{1/2}} dx = \frac{2}{3} \frac{dt}{x^{1/2} \cdot x^{1/2}} = \frac{2}{3} \frac{dt}{x}.$$\nTuttavia, questa semplificazione è errata, quindi riconsideriamo.\n\n5. **Riconsiderare la sostituzione:**\nDato che $$dt = \frac{3}{2} x^{1/2} dx,$$ allora $$x^{1/2} dx = \frac{2}{3} dt.$$\nQuindi, $$dx = \frac{2}{3} \frac{dt}{x^{1/2}}.$$\n\n6. **Riscrivere l'integrale:**\nL'integrale originale è:\n$$\int_9^{16} \frac{\ln\left(x^{3/2} - 8\right)}{x^{1/2}} dx = \int_9^{16} \ln(t) \cdot \frac{1}{x^{1/2}} dx.$$\nSostituendo $$dx = \frac{2}{3} \frac{dt}{x^{1/2}}$$ otteniamo:\n$$\int \ln(t) \cdot \frac{1}{x^{1/2}} \cdot \frac{2}{3} \frac{dt}{x^{1/2}} = \int \ln(t) \cdot \frac{2}{3} \frac{dt}{x}.$$\n\n7. **Espressione di $x$ in funzione di $t$:**\nDa $$t = x^{3/2} - 8,$$ otteniamo $$x^{3/2} = t + 8,$$ quindi $$x = (t + 8)^{2/3}.$$\n\n8. **Sostituire $x$ nell'integrale:**\n$$\int \ln(t) \cdot \frac{2}{3} \frac{dt}{(t + 8)^{2/3}}.$$\n\n9. **Calcolare i nuovi limiti di integrazione:**\nQuando $$x=9,$$ $$t = 9^{3/2} - 8 = (\sqrt{9})^3 - 8 = 3^3 - 8 = 27 - 8 = 19.$$\nQuando $$x=16,$$ $$t = 16^{3/2} - 8 = (\sqrt{16})^3 - 8 = 4^3 - 8 = 64 - 8 = 56.$$\n\n10. **Integrale finale:**\n$$\int_{19}^{56} \ln(t) \cdot \frac{2}{3} (t + 8)^{-2/3} dt.$$\n\n11. **Conclusione:** L'integrale originale si riduce a\n$$\frac{2}{3} \int_{19}^{56} \ln(t) (t + 8)^{-2/3} dt,$$ che può essere valutato con metodi numerici o ulteriori tecniche di integrazione.