Encuentro Circular 0C5Be3

1. **Planteamiento del problema.** Dos cuerpos, $A$ y $B$, parten del mismo punto y se mueven por la periferia de una pista circular de radio $20\,\text{m}$. - $A$ gira en sentido horario con velocidad angular $5\,\text{rpm}$. - $B$ empieza $0{,}5\,\text{s}$ después, en sentido antihorario, con velocidad angular $8\,\text{rpm}$. Se pide: - a) el ángulo descrito por $A$ hasta que se cruzan, - b) el tiempo desde que salió $A$ hasta el encuentro, - c) el espacio recorrido por cada uno hasta el punto de encuentro. 2. **Fórmula que vamos a usar.** Primero pasamos las velocidades angulares de revoluciones por minuto a radianes por segundo. Sabemos que: $$1\,\text{rev} = 2\pi\,\text{rad}$$ $$1\,\text{min} = 60\,\text{s}$$ Por tanto, $$\omega = \frac{\text{rev}}{\text{min}}\cdot\frac{2\pi\,\text{rad}}{1\,\text{rev}}\cdot\frac{1\,\text{min}}{60\,\text{s}}$$ Además, para movimiento circular usamos: $$\theta = \omega t$$ Y el arco recorrido es: $$s = r\theta$$ 3. **Convertimos las velocidades angulares.** Para $A$: $$\omega_A = 5\,\text{rpm} = 5\cdot\frac{2\pi}{60}\,\text{rad/s} = \frac{\pi}{6}\,\text{rad/s}$$ Para $B$: $$\omega_B = 8\,\text{rpm} = 8\cdot\frac{2\pi}{60}\,\text{rad/s} = \frac{2\pi}{15}\,\text{rad/s}$$ 4. **Planteamos el instante del encuentro.** Sea $t$ el tiempo, en segundos, contado desde que salió $A$. Como $B$ sale $0{,}5\,\text{s}$ después, su tiempo de movimiento será: $$t_B = t - 0{,}5$$ Para que se crucen, la suma de los ángulos recorridos debe ser $2\pi$ radianes, porque avanzan en sentidos opuestos desde el mismo punto. Entonces: $$\omega_A t + \omega_B (t - 0{,}5) = 2\pi$$ Sustituimos las velocidades: $$\frac{\pi}{6}t + \frac{2\pi}{15}(t - 0{,}5) = 2\pi$$ 5. **Resolvemos la ecuación paso a paso.** Distribuimos: $$\frac{\pi}{6}t + \frac{2\pi}{15}t - \frac{2\pi}{15}\cdot 0{,}5 = 2\pi$$ Como $\frac{2\pi}{15}\cdot 0{,}5 = \frac{\pi}{15}$, queda: $$\frac{\pi}{6}t + \frac{2\pi}{15}t - \frac{\pi}{15} = 2\pi$$ Sumamos los coeficientes de $t$: $$\frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{30},\qquad \frac{2\pi}{15} = \frac{4\pi}{30}$$ Entonces: $$\frac{5\pi}{30}t + \frac{4\pi}{30}t - \frac{\pi}{15} = 2\pi$$ $$\frac{9\pi}{30}t - \frac{\pi}{15} = 2\pi$$ Simplificamos: $$\frac{3\pi}{10}t - \frac{\pi}{15} = 2\pi$$ Pasamos el término constante al otro lado: $$\frac{3\pi}{10}t = 2\pi + \frac{\pi}{15}$$ $$\frac{3\pi}{10}t = \frac{30\pi}{15} + \frac{\pi}{15}$$ $$\frac{3\pi}{10}t = \frac{31\pi}{15}$$ Ahora dividimos entre $\frac{3\pi}{10}$: $$t = \frac{31\pi}{15}\div \frac{3\pi}{10}$$ $$t = \frac{31\pi}{15}\cdot\frac{10}{3\pi}$$ Cancelamos $\pi$: $$t = \frac{31\cancel{\pi}}{15}\cdot\frac{10}{3\cancel{\pi}}$$ $$t = \frac{310}{45}$$ $$t \approx 6{,}89\,\text{s}$$ 6. **Respuesta de b) tiempo desde que salió $A$.** El tiempo es: $$\boxed{t \approx 6{,}89\,\text{s}}$$ 7. **Calculamos el ángulo descrito por $A$.** Usamos: $$\theta_A = \omega_A t$$ Sustituimos: $$\theta_A = \frac{\pi}{6}\cdot 6{,}89$$ $$\theta_A \approx 3{,}61\,\text{rad}$$ Entonces: $$\boxed{\theta_A \approx 3{,}61\,\text{rad}}$$ 8. **Calculamos el espacio recorrido por cada cuerpo.** Para $A$: $$s_A = r\theta_A$$ $$s_A = 20\cdot 3{,}61$$ $$s_A \approx 72{,}2\,\text{m}$$ Para $B$ primero hallamos su tiempo de movimiento: $$t_B = 6{,}89 - 0{,}5 = 6{,}39\,\text{s}$$ Su ángulo recorrido es: $$\theta_B = \omega_B t_B$$ $$\theta_B = \frac{2\pi}{15}\cdot 6{,}39$$ $$\theta_B \approx 2{,}68\,\text{rad}$$ Y su espacio recorrido: $$s_B = r\theta_B$$ $$s_B = 20\cdot 2{,}68$$ $$s_B \approx 53{,}6\,\text{m}$$ 9. **Comprobación rápida.** Como van en sentidos opuestos, el ángulo total entre ambos al encontrarse debe ser aproximadamente $2\pi$: $$\theta_A + \theta_B \approx 3{,}61 + 2{,}68 = 6{,}29\,\text{rad}$$ Y como $2\pi \approx 6{,}28$, el resultado es coherente. 10. **Resultado final.** $$\boxed{a)\ \theta_A \approx 3{,}61\,\text{rad}}$$ $$\boxed{b)\ t \approx 6{,}89\,\text{s}}$$ $$\boxed{c)\ s_A \approx 72{,}2\,\text{m},\quad s_B \approx 53{,}6\,\text{m}}$$ **Nota importante:** los valores que aparecen al final del enunciado que enviaste, $2{,}57\,\text{rad}$, $4{,}92\,\text{s}$, $51{,}4\,\text{m}$ y $74{,}3\,\text{m}$, no coinciden con los datos tal como están escritos. Si quieres, puedo revisar el enunciado contigo porque quizá hay un dato cambiado o una errata en la velocidad, el retraso o el sentido de giro.