Question: top-left: Bewijs: A = Q ( \lambda_1 0
0 \lambda_m ) Q^t (Q orthogonaal)
center: Stap 1: A is +/- semidef / def asa ( \lambda_1 0
0 \lambda_m ) is +/- semidef/def
bottom-left: Stap 2: (x_1 ... x_m) ( \lambda_1 0
0 ... \lambda_m ) (x_1
1
x_m) = \lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 + ... + \lambda_m x_m^2 => ...User: Vervolledig het bewijs
1. **Stelling:** Bewijs dat $$A = Q \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_m \end{pmatrix} Q^t$$ met $$Q$$ orthogonaal, en dat $$A$$ positief/negatief semidefiniet of definit is als en slechts als de diagonaalmatrix $$\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_m \end{pmatrix}$$ dat is.
2. **Stap 1:** We weten dat $$Q$$ orthogonaal is, dus $$Q^t Q = I$$.
3. **Stap 2:** Voor een vector $$x = (x_1, ..., x_m)^t$$ geldt:
$$x^t A x = x^t Q \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_m \end{pmatrix} Q^t x$$
4. Definieer $$y = Q^t x$$, dan is $$y^t y = x^t Q Q^t x = x^t x$$ omdat $$Q$$ orthogonaal is.
5. Dus:
$$x^t A x = y^t \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_m \end{pmatrix} y = \sum_{i=1}^m \lambda_i y_i^2$$
6. **Stap 3:** De tekens van $$\lambda_i$$ bepalen de definitie van $$A$$:
- Als alle $$\lambda_i > 0$$, dan is $$A$$ positief definit.
- Als alle $$\lambda_i \geq 0$$, dan is $$A$$ positief semidefinit.
- Als alle $$\lambda_i < 0$$, dan is $$A$$ negatief definit.
- Als alle $$\lambda_i \leq 0$$, dan is $$A$$ negatief semidefinit.
7. Omdat $$Q$$ orthogonaal is, verandert het de lengte of het teken van $$x^t A x$$ niet, alleen de basis.
8. **Conclusie:** $$A$$ is positief/negatief (semi)definit als en slechts als de diagonaalmatrix $$\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_m \end{pmatrix}$$ dat is.
**Einde bewijs.**