Question: Oefening p.554 2 Veronderstel dat A een diagonaliseerbare (m \times m)-matrix is die de eigenschap heeft dat voor elke eigenwaarde \lambda geldt dat |\lambda| < 1. Toon aan dat \lim_{n \to \infty} A^n = 0. (met dat laatste bedoelen we dat voor elke i, j \in \{1,2, \ldots, m\} geldt dat het (i, j)-element van A^n naar nul gaat). Oefening p.554 6 Extra oefening, moet je snel klaar zijn met de vorige oefeningen. Wat zijn de eigenwaarden van een bovendiagonhoeksmatrix?

1. **Stel het probleem vast:** We willen de eigenwaarden van een bovendiagonale matrix bepalen. 2. **Definitie van een bovendiagonale matrix:** Een bovendiagonale matrix is een vierkante matrix waarbij alle elementen onder de hoofddiagonaal nul zijn, dat wil zeggen, voor alle i > j geldt dat a_{ij} = 0. 3. **Belangrijke eigenschap:** De eigenwaarden van een bovendiagonale matrix zijn precies de elementen op de hoofddiagonaal. 4. **Waarom is dat zo?** - De determinant van een matrix $A - \lambda I$ is een polynoom waarvan de nulpunten de eigenwaarden zijn. - Voor een bovendiagonale matrix is $A - \lambda I$ ook bovendiagonaal, met hoofddiagonaalelementen $a_{ii} - \lambda$. - De determinant van een bovendiagonale matrix is het product van de hoofddiagonaalelementen. - Dus: $$\det(A - \lambda I) = \prod_{i=1}^m (a_{ii} - \lambda)$$ 5. **Conclusie:** De eigenwaarden $\lambda$ zijn de oplossingen van: $$a_{ii} - \lambda = 0 \implies \lambda = a_{ii}$$ voor $i = 1, 2, \ldots, m$. 6. **Samenvatting:** De eigenwaarden van een bovendiagonale matrix zijn de elementen op de hoofddiagonaal van die matrix.