Question: Oefening p.554 2
Veronderstel dat A een diagonaliseerbare (m \times m)-matrix is die de eigenschap heeft dat voor elke eigenwaarde \lambda geldt dat |\lambda| < 1. Toon aan dat \lim_{n \to \infty} A^n = 0. (met dat laatste bedoelen we dat voor elke i, j \in \{1, 2, \ldots, m\} geldt dat het (i, j)-element van A^n naar nul gaat).
1. **Stel het probleem vast:** We hebben een diagonaliseerbare matrix $A$ van grootte $m \times m$ met eigenwaarden $\lambda$ waarvoor geldt dat $|\lambda| < 1$. We moeten aantonen dat $$\lim_{n \to \infty} A^n = 0,$$ wat betekent dat elk element $(i,j)$ van $A^n$ naar nul gaat.
2. **Gebruik de diagonaliseerbaarheid:** Omdat $A$ diagonaliseerbaar is, bestaat er een invertibele matrix $P$ en een diagonale matrix $D$ zodat $$A = P D P^{-1},$$ waarbij $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m)$ de diagonaal bevat met de eigenwaarden van $A$.
3. **Bereken $A^n$:** We gebruiken de eigenschap van matrixmacht bij diagonaliseerbare matrices:
$$A^n = (P D P^{-1})^n = P D^n P^{-1}.$$
Omdat $D$ diagonaal is, is
$$D^n = \mathrm{diag}(\lambda_1^n, \lambda_2^n, \ldots, \lambda_m^n).$$
4. **Gedrag van $D^n$ als $n \to \infty$:** Omdat voor elke eigenwaarde $\lambda_i$ geldt dat $|\lambda_i| < 1$, volgt uit de eigenschappen van machten dat
$$\lim_{n \to \infty} \lambda_i^n = 0.$$
Dus
$$\lim_{n \to \infty} D^n = 0,$$
waarbij $0$ de nulmatrix is.
5. **Conclusie voor $A^n$:** Omdat $P$ en $P^{-1}$ constant zijn en $D^n \to 0$, geldt
$$\lim_{n \to \infty} A^n = \lim_{n \to \infty} P D^n P^{-1} = P \cdot 0 \cdot P^{-1} = 0.$$
Hieruit volgt dat elk element $(i,j)$ van $A^n$ naar nul gaat.
**Antwoord:** We hebben aangetoond dat $$\lim_{n \to \infty} A^n = 0$$ als $A$ diagonaliseerbaar is en alle eigenwaarden $\lambda$ voldoen aan $|\lambda| < 1$.