Limiet Matrixvector Bede26

1. **Probleemstelling:** We willen de limiet berekenen van $$\lim_{n \to \infty} A^n \mathbf{v}$$ waarbij $$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{2}{3} & \frac{5}{6} \end{pmatrix}$$ en $$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$. 2. **Belangrijke regel:** De limiet van $$A^n \mathbf{v}$$ hangt af van de eigenwaarden van matrix $$A$$. 3. **Stap 1: Bereken de karakteristieke vergelijking van $$A$$:** $$\det(A - \lambda I) = 0$$ $$\det\left(\begin{pmatrix} \frac{1}{3} - \lambda & \frac{1}{6} \\ \frac{2}{3} & \frac{5}{6} - \lambda \end{pmatrix}\right) = 0$$ 4. **Bereken de determinant:** $$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right)\left(\frac{5}{6} - \lambda\right) - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = 0$$ 5. **Uitwerken:** $$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right)\left(\frac{5}{6} - \lambda\right) - \frac{1}{9} = 0$$ $$\frac{5}{18} - \frac{1}{3}\lambda - \frac{5}{6}\lambda + \lambda^2 - \frac{1}{9} = 0$$ $$\lambda^2 - \frac{7}{6}\lambda + \frac{5}{18} - \frac{1}{9} = 0$$ $$\lambda^2 - \frac{7}{6}\lambda + \frac{1}{6} = 0$$ 6. **Los de kwadratische vergelijking op:** $$\lambda = \frac{\frac{7}{6} \pm \sqrt{\left(-\frac{7}{6}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{6}}}{2}$$ $$= \frac{\frac{7}{6} \pm \sqrt{\frac{49}{36} - \frac{4}{6}}}{2}$$ $$= \frac{\frac{7}{6} \pm \sqrt{\frac{49}{36} - \frac{24}{36}}}{2}$$ $$= \frac{\frac{7}{6} \pm \sqrt{\frac{25}{36}}}{2}$$ $$= \frac{\frac{7}{6} \pm \frac{5}{6}}{2}$$ 7. **De twee eigenwaarden zijn:** $$\lambda_1 = \frac{\frac{7}{6} + \frac{5}{6}}{2} = \frac{12/6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$\lambda_2 = \frac{\frac{7}{6} - \frac{5}{6}}{2} = \frac{2/6}{2} = \frac{1}{6}$$ 8. **Stap 2: Analyseer de limiet:** Omdat $$\lambda_1 = 1$$ en $$\lambda_2 = \frac{1}{6}$$ met $$|\lambda_2| < 1$$, zal de limiet van $$A^n$$ worden bepaald door de eigenvector behorend bij $$\lambda_1 = 1$$. 9. **Stap 3: Vind de eigenvector $$\mathbf{u}$$ bij $$\lambda = 1$$:** Los op: $$ (A - I)\mathbf{u} = 0 $$ $$ \begin{pmatrix} \frac{1}{3} - 1 & \frac{1}{6} \\ \frac{2}{3} & \frac{5}{6} - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ 10. **Eerste rij geeft:** $$ -\frac{2}{3}x + \frac{1}{6}y = 0 \Rightarrow \frac{1}{6}y = \frac{2}{3}x \Rightarrow y = \frac{2}{3}x \cdot 6 = 4x $$ 11. **Eigenvector is dus:** $$ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} x \\ 4x \end{pmatrix} $$ We kiezen $$x=1$$ voor eenvoud: $$ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} $$ 12. **Stap 4: Schrijf $$\mathbf{v}$$ als lineaire combinatie van eigenvectoren:** Omdat $$\lambda_2$$ kleiner dan 1 is, verdwijnt het effect van de tweede eigenvector bij grote $$n$$. 13. **Stap 5: Bereken de limiet:** $$ \lim_{n \to \infty} A^n \mathbf{v} = c \mathbf{u} $$ waarbij $$c$$ een constante is. 14. **Vind $$c$$ door $$\mathbf{v} = c \mathbf{u} + d \mathbf{w}$$ (waar $$\mathbf{w}$$ eigenvector bij $$\lambda_2$$ is), maar omdat $$\lambda_2^n \to 0$$, limiet is $$c \mathbf{u}$$. 15. **Bereken $$c$$ door projectie:** We lossen op: $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + d \mathbf{w} $$ 16. **Gebruik eerste component:** $$ 2 = c \cdot 1 + d \cdot w_1 $$ 17. **Gebruik tweede component:** $$ 3 = c \cdot 4 + d \cdot w_2 $$ 18. **Omdat we alleen $$c$$ nodig hebben voor limiet, en $$d \mathbf{w}$$ verdwijnt, kunnen we benaderen:** Projecteer $$\mathbf{v}$$ op $$\mathbf{u}$$: $$ c = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} = \frac{1 \cdot 2 + 4 \cdot 3}{1^2 + 4^2} = \frac{2 + 12}{1 + 16} = \frac{14}{17} $$ 19. **Dus de limiet is:** $$ \lim_{n \to \infty} A^n \mathbf{v} = \frac{14}{17} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{14}{17} \\ \frac{56}{17} \end{pmatrix} $$ **Antwoord:** $$ \boxed{\begin{pmatrix} \frac{14}{17} \\ \frac{56}{17} \end{pmatrix}} $$