📘 logique mathématique

### Exercice 2 1. **Problème** : Exprimer la proposition P₁ et déterminer sa valeur de vérité.

1. Énoncé du problème : Est-il possible de prouver quoi que ce soit à partir d'une initialisation fausse dans un raisonnement par hérédité ? 2. Rappel du raisonnement par hérédité

1. **Énoncé du problème :** Considérons un marché où le prix du bien $x$ passe de 10 à 15, la quantité demandée passe de 100 à 80, et la quantité offerte passe de 100 à 120. Déterm

1. **Énoncé du problème :** Considérons un marché où le prix du bien $x$ passe de 10 à 15, la quantité demandée passe de 100 à 80, et la quantité offerte passe de 100 à 150. Il s'a

1. Énoncé du problème : Écrire la contraposition de l'implication suivante et la démontrer. Implication donnée : $n$ premier $\Rightarrow m=2$ ou $n$ est impair.

1. **Énoncé du problème :** Écrire la contraposition de l'implication suivante et la démontrer. a) $n$ premier $\Rightarrow$ $m=2$ ou $n$ est impair.

1. Le problème : Énoncer les règles fondamentales de la logique mathématique au niveau Licence 1. 2. La logique mathématique étudie les principes du raisonnement rigoureux.

1. Énoncé du problème : Nous allons résoudre un problème typique de logique mathématique de niveau L1, qui consiste à déterminer la validité d'une proposition logique. 2. Formule e

1. Énoncé du problème : Exprimer les opérateurs logiques Non (¬), Ou (\lor) et Et (\land) uniquement en fonction de l'opérateur implication (\Rightarrow).

1. **Énoncé du problème** : Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : 1. $(P \wedge Q) \wedge R$ et $P \wedge (Q \wedge R)$

1. Énoncé : Déterminer la vérité des assertions logiques suivantes. 2. Rappel des symboles et règles :

1. Énoncé : \(\forall x \in \mathbb{R}^+, \forall y \in \mathbb{R}^+ : x + y \leq xy\) Négation : \(\exists x \in \mathbb{R}^+, \exists y \in \mathbb{R}^+ : x + y > xy\)

1. Énoncé du problème : Nous devons analyser six propositions mathématiques impliquant des quantificateurs et des inégalités ou équations.

1. Énoncé : Pour tous $x,y \in \mathbb{R}^+$, $x + y \leq xy$. Négation : Il existe $x,y \in \mathbb{R}^+$ tels que $x + y > xy$.

1. Énoncé : \(\forall x \in \mathbb{R}^+, \forall y \in \mathbb{R}^+ : x + y \leq xy\). Négation : \(\exists x \in \mathbb{R}^+, \exists y \in \mathbb{R}^+ : x + y > xy\).

1. Énoncé : \( (\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall y \in \mathbb{R}^+) : x + y \leq xy \)\n Négation : \( (\exists x \in \mathbb{R}^+)(\exists y \in \mathbb{R}^+) : x + y > xy \)\

1. **Énoncé du problème :** Montrer que la proposition (P) : $(\exists x \in \mathbb{R}) ; (x^2 + 3x - 4 = 0)$ est vraie. 2. **Formule et règles importantes :** Pour montrer qu'une

1. Montrons que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\frac{n(n^2+1)}{2} \in \mathbb{N}$. 2. Utilisons le raisonnement par disjonction des cas :

1. **Énoncé du problème :** (a) : \(\forall x \in ]-\infty, 0], \forall y \in \mathbb{R} : y^2 > x\).

1. Énoncé du problème : (a) : \(\forall x \in ]-\infty,0], \forall y \in \mathbb{R} : y^2 > x\).

1. **Énoncé du problème** : Donner la négation et la valeur de vérité des propositions suivantes : - $(P): (\forall x \in [-1;1])(\forall y \in [-1;1]), -1 \leq x+y \leq 1$