Question: Exprimer les propositions suivantes à l'aide des quantificateurs et des connecteurs logiques puis indiquer la valeur de vérité de chacune d'elles :
1 P₁ : « Il n'existe aucun rationnel solution de l'équation x² - 2 = 0 ».
2 P₂ : « Pour tous rationnels x et y tels que x < y il existe un rationnel z tel que : x < z < y ».
3 P₃ : « Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif p tel que : p ≤ x < p + 1 ».
4 P₄ : « Pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel m tel que : n ≤ m + 2 ».
5 P₅ : « Pour tous réels x et y, √(y + 1) + (x - 1)² = 0 si, et seulement si : x = 1 et y = -1 ».
6 P₆ : « Pour tout réel x, si x ∈ [1 ; +∞[ alors x² ≥ x ».
7 P₇ : « Tout entier naturel divisible par 3 est divisible par 9 ».
Exercice 3
Soit P, Q et R trois propositions. Montrer que les propositions suivantes sont des tautologies :
1 (P ⇒ Q) ⇒ [(Q ⇒ R) ⇒ (P ⇒ R)]
2 (P ⇒ Q) ⇒ [((P et R) ⇒ (Q et R)]
3 (P ⇒ Q) ⇒ [((P ou R) ⇒ (Q ou R)]
### Exercice 2
1. **Problème** : Exprimer la proposition P₁ et déterminer sa valeur de vérité.
$$P_1 : \text{Il n'existe aucun rationnel solution de } x^2 - 2 = 0.$$
**Formule** : $$P_1 : \neg \exists x \in \mathbb{Q}, x^2 - 2 = 0$$
**Valeur de vérité** : Faux, car $\sqrt{2}$ est une solution réelle mais non rationnelle, donc il n'existe pas de rationnel solution. Donc $P_1$ est vrai.
2. **Problème** : Exprimer P₂ et déterminer sa valeur de vérité.
$$P_2 : \forall x,y \in \mathbb{Q}, x < y \implies \exists z \in \mathbb{Q}, x < z < y$$
**Valeur de vérité** : Vrai, car les rationnels sont denses dans les réels.
3. **Problème** : Exprimer P₃ et déterminer sa valeur de vérité.
$$P_3 : \forall x \in \mathbb{R}, \exists ! p \in \mathbb{Z}, p \leq x < p+1$$
**Valeur de vérité** : Vrai, c'est la définition de la partie entière.
4. **Problème** : Exprimer P₄ et déterminer sa valeur de vérité.
$$P_4 : \forall n \in \mathbb{N}, \exists m \in \mathbb{N}, n \leq m + 2$$
**Valeur de vérité** : Vrai, on peut choisir $m = n$.
5. **Problème** : Exprimer P₅ et déterminer sa valeur de vérité.
$$P_5 : \forall x,y \in \mathbb{R}, \sqrt{y+1} + (x-1)^2 = 0 \iff (x=1 \wedge y=-1)$$
**Valeur de vérité** : Vrai, car $\sqrt{y+1} \geq 0$ et $(x-1)^2 \geq 0$, la somme est nulle seulement si chaque terme est nul.
6. **Problème** : Exprimer P₆ et déterminer sa valeur de vérité.
$$P_6 : \forall x \in [1,+\infty[, x^2 \geq x$$
**Valeur de vérité** : Vrai, car pour $x \geq 1$, $x^2 - x = x(x-1) \geq 0$.
7. **Problème** : Exprimer P₇ et déterminer sa valeur de vérité.
$$P_7 : \forall n \in \mathbb{N}, (3|n) \implies (9|n)$$
**Valeur de vérité** : Faux, car $3|3$ mais $9 \nmid 3$.
### Exercice 3
1. Montrer que $$ (P \Rightarrow Q) \Rightarrow ((Q \Rightarrow R) \Rightarrow (P \Rightarrow R)) $$ est une tautologie.
2. Montrer que $$ (P \Rightarrow Q) \Rightarrow (((P \wedge R) \Rightarrow (Q \wedge R))) $$ est une tautologie.
3. Montrer que $$ (P \Rightarrow Q) \Rightarrow (((P \vee R) \Rightarrow (Q \vee R))) $$ est une tautologie.
**Valeur de vérité** : Ces propositions sont tautologies, c'est-à-dire toujours vraies, car elles correspondent à des règles logiques valides.