Question: Wat als je det(Hf)>0 en $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0$
1. **Stel het probleem vast:**
We onderzoeken de situatie waarin de determinant van de Hessiaan matrix van een functie $f$, aangeduid als $\det(Hf)$, groter is dan nul is, en tegelijkertijd de tweede partiële afgeleide van $f$ naar $x$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, gelijk is aan nul.
2. **Formule en regels:**
De Hessiaan matrix $Hf$ van een functie $f(x,y)$ is een matrix van tweede orde partiële afgeleiden:
$$
Hf = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{pmatrix}
$$
De determinant van $Hf$ is:
$$
\det(Hf) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2
$$
3. **Gegeven voorwaarden:**
$$
\det(Hf) > 0
$$
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0
$$
4. **Analyse:**
Vervang $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0$ in de determinant:
$$
\det(Hf) = 0 \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2 = - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2
$$
5. **Conclusie:**
Omdat $\det(Hf) > 0$ gegeven is, maar de uitdrukking hierboven gelijk is aan $-\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2$, wat altijd kleiner dan of gelijk aan nul is (want kwadraat is niet-negatief en er staat een minteken voor), is dit een contradictie.
Dus, als $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0$, dan kan $\det(Hf)$ niet groter zijn dan nul.
**Samenvatting:**
- $\det(Hf) > 0$ en $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0$ kunnen niet tegelijkertijd waar zijn.
- Dit betekent dat de gegeven situatie onmogelijk is voor een tweedimensionale functie met continue tweede afgeleiden.