Question: Wanneer is een kritiek punt dan een globaal of lokaal min/max met de methode van Hessiaan en +/- (semi)definiet
1. **Stel het probleem vast:**
We willen bepalen wanneer een kritiek punt van een functie $f$ een lokaal of globaal minimum of maximum is, met behulp van de Hessiaan matrix en de definitie van positief/negatief (semi)definiete matrices.
2. **Formule en regels:**
De Hessiaan matrix $Hf$ van $f$ in een kritiek punt bevat de tweede orde partiële afgeleiden.
- Als $Hf$ positief definit is (alle eigenwaarden > 0), dan is het kritiek punt een lokaal minimum.
- Als $Hf$ negatief definit is (alle eigenwaarden < 0), dan is het kritiek punt een lokaal maximum.
- Als $Hf$ positief semidefinit is (alle eigenwaarden $20$, geen negatieve), dan is het kritiek punt een lokaal minimum of een vlak minimum (kan ook vlak zijn).
- Als $Hf$ negatief semidefinit is (alle eigenwaarden $20$, geen positieve), dan is het kritiek punt een lokaal maximum of vlak maximum.
- Als $Hf$ indefiniet is (eigenwaarden van beide tekens), dan is het kritiek punt een zadelpunt.
3. **Globaal versus lokaal:**
De Hessiaan methode bepaalt alleen lokale aard van het kritiek punt.
Globale minima of maxima vereisen extra informatie, zoals convexiteit van $f$ over het domein:
- Als $f$ convex is (Hessian positief semidefinit overal), dan is elk lokaal minimum ook globaal minimum.
- Als $f$ concave is (Hessian negatief semidefinit overal), dan is elk lokaal maximum ook globaal maximum.
4. **Samenvatting:**
- Positief definit Hessiaan $ o$ lokaal minimum.
- Negatief definit Hessiaan $ o$ lokaal maximum.
- Positief semidefinit $ o$ lokaal minimum of vlak minimum.
- Negatief semidefinit $ o$ lokaal maximum of vlak maximum.
- Indefiniet Hessiaan $ o$ zadelpunt.
- Globale extrema volgen uit globale eigenschappen zoals convexiteit.