Lokale Extrema 12D426

1. **Probleemstelling:** We zoeken de lokale maxima en minima van de functie $$f(x,y) = 2x^3 + 9xy^2 + 15x^2 + 27y^2$$ en bepalen welke daarvan globaal zijn. 2. **Formules en regels:** - Lokale extrema vinden we door de partiële afgeleiden te berekenen en gelijk te stellen aan nul: $$f_x = 0$$ en $$f_y = 0$$. - Daarna gebruiken we de tweede afgeleiden test met de Hessiaan matrix $$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$$. - De determinant van de Hessiaan $$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$$ bepaalt het type kritisch punt: - Als $$D > 0$$ en $$f_{xx} > 0$$ is het een lokaal minimum. - Als $$D > 0$$ en $$f_{xx} < 0$$ is het een lokaal maximum. - Als $$D < 0$$ is het een zadelpunt. 3. **Bereken de partiële afgeleiden:** $$f_x = \frac{\partial}{\partial x}(2x^3 + 9xy^2 + 15x^2 + 27y^2) = 6x^2 + 9y^2 + 30x$$ $$f_y = \frac{\partial}{\partial y}(2x^3 + 9xy^2 + 15x^2 + 27y^2) = 18xy + 54y$$ 4. **Los het stelsel $$f_x = 0$$ en $$f_y = 0$$ op:** Van $$f_y = 0$$ volgt: $$18xy + 54y = 18y(x + 3) = 0$$ Dus $$y=0$$ of $$x = -3$$. - Voor $$y=0$$: $$f_x = 6x^2 + 30x = 6x(x + 5) = 0$$ Dus $$x=0$$ of $$x=-5$$. - Voor $$x=-3$$: $$f_x = 6(-3)^2 + 9y^2 + 30(-3) = 54 + 9y^2 - 90 = 9y^2 - 36 = 0$$ $$9y^2 = 36 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$$. 5. **Kritieke punten:** $$(0,0), (-5,0), (-3,2), (-3,-2)$$ 6. **Bereken tweede afgeleiden:** $$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} f_x = 12x + 30$$ $$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} f_y = 18x + 54$$ $$f_{xy} = f_{yx} = \frac{\partial}{\partial y} f_x = 18y$$ 7. **Evalueer Hessiaan determinant $$D$$ en $$f_{xx}$$ in elk kritisch punt:** - Voor $$(0,0):$$ $$f_{xx} = 12(0) + 30 = 30$$ $$f_{yy} = 18(0) + 54 = 54$$ $$f_{xy} = 18(0) = 0$$ $$D = 30 \times 54 - 0^2 = 1620 > 0$$ $$f_{xx} = 30 > 0$$ dus lokaal minimum. - Voor $$(-5,0):$$ $$f_{xx} = 12(-5) + 30 = -60 + 30 = -30$$ $$f_{yy} = 18(-5) + 54 = -90 + 54 = -36$$ $$f_{xy} = 18(0) = 0$$ $$D = (-30)(-36) - 0^2 = 1080 > 0$$ $$f_{xx} = -30 < 0$$ dus lokaal maximum. - Voor $$(-3,2):$$ $$f_{xx} = 12(-3) + 30 = -36 + 30 = -6$$ $$f_{yy} = 18(-3) + 54 = -54 + 54 = 0$$ $$f_{xy} = 18(2) = 36$$ $$D = (-6)(0) - 36^2 = -1296 < 0$$ dus zadelpunt. - Voor $$(-3,-2):$$ $$f_{xx} = -6$$ (zelfde als hierboven) $$f_{yy} = 0$$ $$f_{xy} = 18(-2) = -36$$ $$D = (-6)(0) - (-36)^2 = -1296 < 0$$ zadelpunt. 8. **Conclusie lokale extrema:** - Lokaal minimum in $$(0,0)$$ - Lokaal maximum in $$(-5,0)$$ - Zadelpunten in $$(-3,2)$$ en $$(-3,-2)$$ 9. **Globale extrema:** - Omdat $$f(x,y)$$ een polynoom van graad 3 is en niet begrensd is, zijn de lokale extrema niet per se globaal. - Onderzoek limieten voor $$x,y \to \pm \infty$$: - Voor grote $$x$$ positief, $$2x^3$$ domineert en gaat naar $$+\infty$$. - Voor grote $$x$$ negatief, $$2x^3$$ gaat naar $$-\infty$$. - Dus geen globaal maximum (want functie kan naar $$+\infty$$ gaan). - Geen globaal minimum (want functie kan naar $$-\infty$$ gaan). **Antwoorden:** - a) Lokale maxima en minima zijn: - Lokaal minimum: $$(0,0)$$ - Lokaal maximum: $$(-5,0)$$ - b) Geen van deze zijn globale extrema omdat de functie onbeperkt is in beide richtingen.