📘 algèbre

1. Énonçons le problème : on a trois nombres positifs $a$, $b$, $c$ tels que $$\frac{1}{c} + \frac{1}{b} + a = \frac{1}{4}, \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + c = \frac{1}{2}, \quad

1. Énoncé du problème : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 + 2iz + 1 + 2i = 0$. 2. Formule utilisée : Pour une équation quadratique $az^2 + bz + c = 0$, les solutions sont

1. Énonçons le problème : Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|x| = 0$ si et seulement si $x = 0$. 2. Rappelons la définition de la valeur absolue :

1. Énonçons le problème : expliquer en détail l'inégalité des moyennes arithmético-géométriques (AM-GM). 2. L'inégalité AM-GM affirme que pour tout ensemble de nombres réels positi

1. Énonçons le problème : expliquer pourquoi on peut diviser par $\sqrt{ab}$ quand $ab > 0$. 2. Rappelons que $\sqrt{ab}$ est la racine carrée du produit $ab$. Par définition, la r

1. **Énoncé du problème :** Nous avons une suite géométrique dont les trois premiers termes sont $m-1$, $6$, et $m+8$.

1. Énonçons le problème : Montrer que $\left(\sqrt{10} + 1\right)^2 = 11 + 2\sqrt{10}$.\n\n2. Utilisons la formule du carré d'une somme : $\left(a + b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

1. **Énoncé du problème :** On considère le trinôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a$ et $c$ réels. Le signe de $P(x)$ est donné par le tableau :

1. Énoncé du problème : Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que $3 < x < 5$ et $4 < y < 7$. Il faut encadrer les expressions suivantes : $x - y$, $xy$, $x^2 + y^2$, et $\frac

1. **Énoncé du problème :** Comparer les nombres $\frac{39}{35}$ et $\frac{8}{7}$, puis en déduire la comparaison des nombres $-\sqrt{3} \cdot \frac{39}{35}$ et $-\sqrt{3} \cdot \f

1. **Énoncé du problème :** Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ et $G = \mathbb{R} \setminus \{\alpha\}$ muni de la loi $\triangle$ définie par

1. **Énoncé du problème :** Montrer que $(G, \Delta)$ est un groupe commutatif où $G = \mathbb{R} \setminus \{\alpha\}$ et la loi $\Delta$ est définie par

1. **Énoncé du problème :** Comparer les nombres réels $a$ et $b$ sachant que $3a + 2\sqrt{5} = 3b - \sqrt{3}$.

1. Énonçons le problème : Trouver la règle d'une fonction quadratique $f(x) = ax^2 + bx + c$ qui passe par le point $(5,14)$ et dont les racines (abscisses à l'origine) sont $-4$ e

1. Énonçons le problème : On nous donne que le vecteur inverse de \(\vec{a}\) a une norme de 3 et que la norme du vecteur \(\vec{b}\) est 8. 2. Rappelons que le vecteur inverse de

1. **Énoncé du problème :** Calculer $10^2 \times 10^9$ et exprimer le résultat sous la forme $10^n$ où $n$ est un entier relatif. 2. **Formule utilisée :** Pour multiplier des pui

1. **Énoncé du problème :** Comparer $\sqrt{7}$ et $\sqrt{12} + \sqrt{5}$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour comparer des racines carrées, on peut soit calculer leur vale

1. **Énoncé du problème** : Trouver l'équation de la fonction $s(e)$ à partir des points donnés dans la table : $e = 0, 5, 10$ et $s = 350, 350, 350$. 2. **Observation des données*

1. Énoncé du problème : Montrer que les expressions $(x - 2)(x - 4)$ et $(x - 3)^2 - 1$ sont égales à $f(x) = x^2 - 6x + 8$ pour tout réel $x$. 2. Montrons que $(x - 2)(x - 4)$ est

1. Énoncé du problème : Nous avons deux matrices $A$ et $B$ données par

1. Le problème consiste à trouver la forme canonique d'une fonction quadratique donnée, généralement sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$. 2. La forme canonique d'une fonction quad