📘 analysis

1. **Problem statement:** Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche zwischen den Kurven

1. **Problemstellung:** Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion $f'$. Es soll untersucht werden, welche Aussagen über die Funktion $f$ zutreffen. 2. **Wichtige Regeln:**

1. Das Problem: Wir wollen die Gleichung der Wendetangente an einem Wendepunkt einer Funktion $f(x)$ bestimmen. 2. Formel: Die Wendetangente ist die Tangente an der Stelle $x=w$, w

1. Das Problem lautet: Sind eine Wendetangente und eine Wendestelle dasselbe? 2. Eine Wendestelle ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem die Krümmung wechselt, also v

1. **Problemstellung:** Berechne den Flächeninhalt $A$ der Fläche, die von den Graphen der Funktionen

1. **Problemstellung:** Berechne das Integral $$\int \frac{\sqrt{a^2 - y^2}}{y} \, dy$$ mit $a > 0$. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Wir verwenden eine trigonometrische Substitu

1. **Problemstellung:** Berechne das Integral $$\int \frac{\sqrt{y^2 - a^2}}{y} \, dy$$ mit $a > 0$. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Wir verwenden die Substitution und Standardi

1. **Problem statement:** Bestimme den Flächeninhalt, der im Intervall zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen ist für $f(x) = 4x^2$ im Intervall $I = [-1; 2]

1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion des Flussbodens $$y(x) = \frac{x^2}{5} - 5$$.

1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$h(x) = (ax^2 + bx + c) \cdot e^x$$ mit $$a,b,c \in \mathbb{R}$$ und $$a \neq 0$$. Der Graph schneidet die x-Achse bei $$x = -1$$

1. **Problemstellung:** Gegeben sind Hoch- und Tiefpunkte eines Funktionsgraphen $f$. Es soll beschrieben werden, wie sich das Vorzeichen der ersten Ableitung $f'$ an diesen Extrem

1. **Problemstellung:** Die Frage lautet, ob die Verkettung (Komposition) von zwei Riemann-integrierbaren Funktionen immer Riemann-integrierbar ist. 2. **Definition:** Eine Funktio

1. **Problemstellung:** Wir sollen das Monotonieverhalten der Funktion $f(x)=x^4-6x^2+1$ untersuchen und die Nullstellen bestimmen. 2. **Monotonieverhalten:** Dazu berechnen wir di

1. **Problem 11a:** Bestimmen Sie die Ableitung von $f(x) = 7x^3 - 5x^2 + 9x - 2$. 2. **Formel:** Die Ableitung einer Potenzfunktion $x^n$ ist $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$.

1. **Problem statement:** Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion für die gegebenen Funktionen. 2. **Formel:** Die Ableitung einer Potenzfunktion $f(x) = cx^n$ ist gegeben durch $$f'(

1. Problemstellung: Berechne das bestimmte Integral \(\int_{-1}^{1} (x^3 - 2x + 1) \, dx\).\n\n2. Formel und Regeln: Das bestimmte Integral einer Funktion \(f(x)\) von \(a\) bis \(

1. **Problem statement:** Calculate the definite integral \(\int_{-1}^1 (x^3 - 2x + 1) \, dx\). 2. **Formula and rules:** The definite integral of a function \(f(x)\) from \(a\) to

1. Das gegebene Problem ist, die Ableitung der Funktion zu bestimmen, deren Graph eine kubische Kurve ist, die die x-Achse bei etwa $x=-1$, $x=0$ und $x=2$ schneidet. 2. Eine kubis

1. **Problem statement:** We want to show that for smooth positive functions $u_1, u_2$ and the Riesz transform operator $R$, the integral $$\int (R(u_1) - R(u_2)) (u_1 R u_1 - u_2

1. **Problem:** Untersuchen Sie, ob die Funktion $f$ im angegebenen Intervall streng monoton zu- oder abnehmend ist. 2. **Formel:** Die Monotonie einer Funktion wird durch das Vorz

1. **Problem statement:** Ordne die gegebenen Funktionsgleichungen jeweils die richtigen Graphen zu. 2. **Wichtige Regeln:**