📘 analysis

1. Problem 11: Show that if $(x_n)$ converges to $x$, then the sequence $(s_n)$ where $s_n = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$ also converges to $x$. 2. Recall the definition of

1. Problem 2: Prove that the sequence defined by $x_1 = 3$ and $x_{n+1} = \frac{1}{4 - x_n}$ converges. 2. To prove convergence, we first check if the sequence is bounded and monot

1. **Problem:** Show that if $(x_n)$ converges to $x$, then the sequence $s_n = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$ also converges to $x$. 2. **Formula and idea:** Since $x_n \to x

1. Das Problem: Gegeben ist eine Funktion $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, die reell differenzierbar und komplex differenzierbar ist. 2. Definitionen: Eine Funktion ist reell diffe

1. Énoncé du problème : Trouver une équivalence simple de la fonction $f(x) = x + 1 + \ln x$ en $0$. 2. Formule et règles importantes : Pour étudier le comportement d'une fonction

1. ندرس تغيرات الدالة $g$ المعرفة على المجال $]0; +\infty[$ حيث: $$g(x) = 1 + x^2 - 2x^2 \ln x$$

1. **Problem Statement:** We have three infinite series:

1. Énoncé: On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x(\sqrt{x}-2)^2$. On demande de déterminer l'ensemble de définition $D_f$, de calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\lim_

1. **Énoncé du problème :** Étudier les solutions positives de l'équation $$e^x = x^n$$ avec $$n$$ un entier naturel non nul, en utilisant la fonction $$f(x) = \frac{x}{\ln x}$$ dé

1. נניח כי נתון טור חזקות מהצורה $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$$ עם \(a_n\) מקדמים ו-\(x_0\) נקודת המרכז. 2. נתון כי $$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right

1. Montrons que l'équation $e^x = 5x$ admet une solution dans $[0, 2]$. 2. Définissons la fonction $g(x) = e^x - 5x$.

1. Problem: Leiten Sie die Funktionen ab und vereinfachen Sie, wenn möglich. 2. Formel: Für Produkte gilt die Produktregel: $$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$

1. **Problemstellung:** Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion $g(x) = \ln(x)$. 2. **a) Für welchen $x$-Wert hat $g$ den Funktionswert 3?**

1. **Stating the problem:** We have a sequence of functions defined for $n=1,2,3,\ldots$ as $$f_n(x) = \frac{n^2 x^3}{1 + 2n^{2n^2}}$$ for every real number $x$. We want to find th

1. **Énoncé du problème :** Montrer que la restriction $f_1$ de la fonction $f$ à l'intervalle $]0; +\infty[$ est une bijection sur un intervalle $J$ à préciser.

1. Problem: Solve or analyze the sequence or series related to the triplet "acb". Since the problem is not explicitly stated, let's assume it involves testing convergence of a seri

1. **بيان مجال تعريف الدالة $f_k(x) = \ln\left(\frac{k}{x^2 + 2x}\right)$** - يجب أن يكون داخل اللوغاريتم موجبًا:

1. **بيان المسألة:** ندرس الدالة $g_n$ المعرفة على المجال $]-1; +\infty[$ حيث $$g_n(x) = \frac{x}{x+1} + n \ln(x+1).$$

1. Énoncé du problème : On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f(x) = 1 + \frac{x-1}{x+1} \ln x$. 2. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}) :

1. Problemstellung: Wir sollen eine Kurvendiskussion für die Funktion $f(x) = 2x^2 + 3x + 7$ durchführen. 2. Funktion und wichtige Regeln: Die Funktion ist eine quadratische Funkti

1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x) = \ln(1+x) - x$.