📘 analysis

1. The problem is to determine the radius of convergence of a power series and find the value of the series, its derivative, and its integral at each point within that radius. 2. T

1. **Problem:** Consider the power series $$\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^k (x-3)^k.$$ Find the radius of convergence and closed form of the function it represents.

1. **Problem:** Berechne die erste Ableitung von \(f(x) = (x^2 + 2) \cdot \sin(2x)\) und \(g(x) = (3 - x) \cdot e^{3x}\). 2. **Formeln und Regeln:**

1. **Problem statement for 2a:** Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graph von $f(x) = \cos(x) + 2$ und der x-Achse über dem Intervall $[-\pi; 1]$. Da $f$ keine Nullst

1. **Problem:** Gegeben sind die Funktionen $f(x) = -4e^x + 6$ und $h(x) = 2e^{-x} - 3$. Gesucht sind die Schnittstellen der Graphen von $f$ und $h$. 2. **Formel:** Schnittstellen

1. **Problem statement:** Untersuchen Sie die Funktion $$f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x$$ auf Monotonie und Extremstellen. 2. **Formeln und Regeln:**

1. **Problem statement:** Skizzieren Sie zum Graphen von $f$ den Graphen einer Stammfunktion $F$ für die Funktion $f$.

1. **Problemstellung:** Wir sollen die Stammfunktion von $f(x)=2-2x$ berechnen, deren Graph durch den Punkt $P(1,0)$ verläuft. 2. **Formel für die Stammfunktion:** Die Stammfunktio

1. **Problem statement:** Berechnen Sie die Differenzenquotienten für die Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ an den angegebenen Stellen:

1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$f(x) = (x - 1)^2 \cdot e^{2x}$$ und ein Punkt $$P(u|f(u))$$ mit $$u \in [0,1]$$ auf dem Graphen. Gesucht ist der Wert von $$u$$,

1. Das gegebene Problem beschreibt eine Funktion $f(x) = -0{,}05x^3 + 0{,}9x^2 + 1{,}5x$, die die Zuschauerzahl in Tausend nach $x$ Stunden seit Veröffentlichung darstellt. 2. Die

1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{x(e^{2x} - 1)}{e^{2x} + 1}$$ et répondre aux questions sur ses variations, tangente, signe, position

1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g(x) \geq 0$. 2. **Formule et rappel :** On suppose que $g$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$, et on

1. **Énoncé du problème :** Vérifier que pour tout $x \in ]0,+\infty[$, $f(x) = x + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \ln x - 1\right) \ln x$. 2. **Formule et règles importantes :**

1. **Problem statement:** We want to show that there exists a convergent series of positive numbers $\sum_{n=1}^\infty a_n$ such that for any integer $k \geq 1$, there exists an in

1. Das Problem lautet: Bestimmen Sie die obere Grenze $a$ des Integrals $$\int_2^a t^2 \, dt = 39$$ mit $a > 0$. 2. Die Formel für das bestimmte Integral einer Potenzfunktion $t^n$

1. **Problemstellung:** Berechne die Tangentengleichung an die Funktion $f(x) = x^3$ vom Punkt $P(2|0)$ aus.

1. **Problemstellung:** Gegeben sind die Graphen einer Funktion $f$ und ihrer Ableitungsfunktion $f'$. Gesucht sind die Werte von $f$ und $f'$ an bestimmten Stellen sowie weitere E

1. **Problem statement:** Untersuchen Sie die Funktionenschar $f_a(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}ax^2$ auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte. 2. **Nullstellen finden:** Setze

1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$f(x) = e^{-0,5x} \cdot (x^2 - 6x + 8)$$ mit $$x \in [0; \infty[$$. Gesucht sind Eigenschaften und Verhalten der Funktion, insbeso

1. **Problemstellung:** Untersuchen Sie mithilfe des Monotoniesatzes, ob die Funktionen c) $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$$ im Intervall $$I = ]-2; 2[$$