📘 analysis

1. **Problemstellung:** Bestimmen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche für die Funktion $f(x) = x^2 - 1$ im Intervall von $x=0$ bis $x=2$. 2. **Formel:** Der Flächeninhalt unter ein

1. Problem statement: Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion $f$ sowie zwei mögliche Stammfunktionen für $f(x) = e^{5x}$. 2. Formel und Regeln: Die Ableitung der Exponentia

1. **Problemstellung:** Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion $f$ sowie zwei mögliche Stammfunktionen für die Funktion $f(x) = e^{5x}$. 2. **Formeln und Regeln:**

1. Das Problem lautet: Zeichne die Funktion $f(x) = x e^x$ und bestimme die ersten Ableitungen. 2. Die Funktion ist $f(x) = x e^x$. Um die Ableitungen zu finden, verwenden wir die

1. Problema: Studierea convergenței seriei alternante \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{n+1}\) și criteriile de convergență ale lui Leibniz. 2. Criteriile de convergență ale lui

1. **Problemstellung:** Wir sollen die Funktion $$f(x) = \frac{1}{10}x^4 + x^2 - 2$$ auf lokale Extrempunkte untersuchen und anschließend den Graphen skizzieren. 2. **Formel und Vo

1. **Problem statement:** Untersuchen Sie die Funktion $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x$ auf lokale Extrempunkte. 2. **Formel und Regeln:** Lokale Extrempunkte finden wir, indem

1. Problem: Izračunaj integral $$\int_0^\infty \frac{\arctan(xy)}{y(1+y^2)} \, dy$$ za $$x \in \mathbb{R}$$. 2. Formula and important rules: Uporabili bomo lastnosti funkcije arcta

1. **הבעיה:** נתונה סדרה $a_n \geq 0$ והסדרה $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנסת. יש לבדוק האם הסדרה $\sum_{n=1}^\infty \sqrt[3]{a_n}$ מתכנסת. 2. **נוסחאות וכללים חשובים:**

1. Énonçons la propriété à démontrer par récurrence : $$P(n): \quad \frac{1}{2n+2} \leq I_n \leq \frac{e}{2n+2}$$

1. **Énoncé du problème :** Calculer $I_1 = \int_0^1 \frac{e^{1\cdot x}}{e^x + 1} dx$, puis $I_0 + I_1$, et en déduire $I_0$. 2. **Formule et remarques importantes :**

1. **بيان المسألة:** لدينا متتابعة \((s_n)\) معرفة على \(\mathbb{N}\) مع التعبير \(v_n = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\).

1) Étudier la parité de $f(x) = x + \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$. - Une fonction $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ et impaire si $f(-x) = -f(x)$.

1. Énoncé du problème : On étudie la suite de terme général $$u_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^n$$. 2. Première inégalité à démontrer : Pour tout $x \in [0,1[$, montrer

1. The problem asks to find the infimum of the equation above. However, no specific equation was provided in the message. 2. The infimum of a function or set is the greatest lower

1. **Énoncé du problème 1** : Montrer que pour tout $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec $0 < a < b$, on a $$\frac{b - a}{b} < \ln\left(\frac{b}{a}\right) < \frac{b - a}{a}.$$

1. Problem statement: Berechnen Sie die Ableitung der Funktion \(f(x) = 9 - 4x\).\n\n2. Formel und Regeln: Die Ableitung einer Funktion der Form \(f(x) = ax + b\) ist \(f'(x) = a\)

1. Das Problem: Wir wollen wissen, wann die Steigung einer Funktion größer oder kleiner als 0 ist. 2. Formel: Die Steigung einer Funktion $f(x)$ an einer Stelle $x$ ist die Ableitu

1. **Stating the problem:** We need to study the nature of the series

1. **Énoncé du problème 1** : Montrer que pour tout $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec $0 < a < b$, on a : $$\frac{b - a}{b} < \ln\left(\frac{b}{a}\right) < \frac{b - a}{a}$$

1. Le problème demande de déduire les variations de la fonction $h$ sur les intervalles $(-\infty ; \frac{1}{2})$ et $[\frac{1}{2} ; +\infty)$ à partir des variations des fonctions