📘 cálculo vectorial

1. **Planteamiento del problema:** Queremos verificar el Teorema de Green para el campo vectorial $$F(x,y)=(x+y,xy)$$ en la región $$R$$ del primer cuadrante delimitada por $$x=0$$

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos el campo vectorial $$F(x,y) = (3x^2 y^3 + y^4, 3x^3 y^2 + y^4 + 4xy^3)$$

1. **Planteamiento del problema:** Calcular la divergencia y el rotacional del campo vectorial $$\mathbf{F}(x,y,z) = e^{-x} \sin y \mathbf{i} + e^{-y} \sin z \mathbf{j} + e^{-z} \s

1. **Planteamiento del problema:** Queremos encontrar la divergencia y el rotacional del campo vectorial $$F(x,y,z) = 0\mathbf{i} + \cos(xz)\mathbf{j} - \sin(xy)\mathbf{k}$$.

1. **Planteamiento del problema:** Encontrar la divergencia y el rotacional del campo vectorial $$\mathbf{F}(x,y,z) = x^2 y z \mathbf{i} + x y^2 z \mathbf{j} + x y z^2 \mathbf{k}$$

1. **Planteamiento del problema:** Queremos encontrar la divergencia y el rotacional del campo vectorial $$\mathbf{F}(x,y,z) = xyz\mathbf{i} - x^2 y \mathbf{k}$$.

1. **Planteamiento del problema:** Queremos evaluar la integral de línea $$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$ donde $$\mathbf{F}(x,y) = (\sqrt{x} + y^3, x^2 + \sqrt{y})$$ y la c

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un campo vectorial $$\mathbf{F}(x,y,z) = (y, z, x)$$.

1. **Planteamiento del problema:** Se tiene un cilindro con radio $R=2$ y altura $h=5$, y un campo vectorial $F(x,y,z)=(x,y,0)$. Se pide:

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos una esfera de radio $R=2$ y un campo vectorial $F(x,y,z) = (x^2, y^2, z^2)$. Queremos calcular el flujo total de $F$ a través de la super

1. **Planteamiento del problema:** Se tiene un campo vectorial $$F(x,y,z) = (x, y, z)$$ y una superficie cilíndrica definida por $$x^2 + y^2 = 4$$ con $$0 \leq z \leq 3$$. Se desea

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un campo vectorial $F(x,y) = (y, x)$ y una trayectoria cerrada $C$ que es un cuadrado con vértices en $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ y $(0,1)$

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos una superficie dada por $$z=4-x^2-y^2$$ con $$z\geq0$$, que representa la forma del techo.

1. **Planteamiento del problema:** Queremos calcular el área de la superficie de una semiesfera de radio $R=3$ con $z \geq 0$.

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un campo vectorial $$F(x,y) = (y^2, 2xy)$$ y queremos:

1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una circunferencia dada por la ecuación $$x^2 + y^2 = 9$$ y un campo vectorial $$\mathbf{v}(x,y) = (-y, x)$$.

1. **Planteamiento del problema:** a) Tenemos un potencial escalar $$f(x,y,z) = x^2 y + y z^2$$ y queremos calcular el trabajo realizado por el campo $$F = \nabla f$$ al mover una

1. **Planteamiento del problema:** Queremos calcular la integral de línea de la función de temperatura $T(x,y) = x^2 + y^2$ a lo largo de la curva $C$ dada por $r(t) = (2 \cos t, 2

1. **Planteamiento del problema:** Se tiene la curva paramétrica $$\mathbf{r}(t) = (3 \cos t, 3 \sin t, 4t)$$ para $$t$$ en $$[0, 2\pi]$$ y se desea calcular:

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos una columna cilíndrica sólida limitada por el cilindro $x^2+y^2=1$ y los planos $z=0$ y $z=2$. La densidad varía según la distancia al ej

1. **Planteamiento del problema:** Dada la función de potencial escalar $$V(x,y,z) = x^2 y + 2 y z^2 - 4 x$$ y el punto $$P(2,-1,1)$$, se pide: