📘 analyse

1. **Déterminer les limites de $f(x) = \frac{2x+1}{x^2 - x - 1}$ en $a = +\infty$, $a=1$ et $a=-\frac{1}{2}$** - Pour $a = +\infty$ :

1. **Exercice 3 : Prolongement par continuité de $f(x) = \frac{1 - \cos x}{x}$ en 0** - Le problème est de montrer que $f$ peut être prolongée par continuité en $x=0$ et de trouver

1. **Énoncé du problème :** Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f$ définie par

1. **Exercice 1: Continuité en 0** 1. Pour $f(x) = \frac{(1+x)^n - 1}{2^x}$, on cherche $\lim_{x \to 0} f(x)$.

1. Énonçons le problème : Trouver le domaine de définition de la fonction $$f(x) = \sqrt{\frac{8 - x}{4 - x}}$$. 2. Pour que la fonction soit définie, l'expression sous la racine c

1. Énonçons le problème : Trouver le domaine de la fonction $$f(x) = \sqrt{\frac{8 - x}{4 - x}}$$. 2. Pour que la fonction soit définie, l'expression sous la racine carrée doit êtr

1. **Énoncé du problème** : Identifier les points dans le domaine de $f(x)$ où la fonction n'est pas continue. 2. **Rappel de la continuité** : Une fonction est continue en un poin

1. **Étudier les variations de P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 1**. Calculons la dérivée :

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}, \quad x \in [1, +\infty[,$$

1. **Déterminer la limite en 0 des fonctions données** **a)** $f(x) = \frac{3x}{\sin(3x)}$

1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $f$ définie sur $I = [2, +\infty[$ par

1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $f$ définie sur $I = [2, +\infty[$ par

1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $f$ définie sur $I = [2, +\infty[$ par $f(x) = x - 4\sqrt{x} - 2 - 1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, puis calculer

1. Le problème demande d'évaluer la limite d'une fonction lorsque $x$ tend vers $-1$, et non vers $1$. 2. Pour résoudre ce type de limite, il faut d'abord connaître la fonction exa

1. Calculer les limites suivantes : 1.1. $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + 5x^2 - 3x - 7}{x^2 - 5x - 6}$$

1. Énonçons le problème : Étudier la fonction $$f(x) = \frac{x - 1}{x^2 + 1}$$. 2. Domaine de définition : Le dénominateur $$x^2 + 1$$ est toujours strictement positif pour tout $$

1. Énonçons le problème : Nous avons trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par $$f(x) = x|x|, \quad g(x) = \frac{x}{1 + |x|}, \quad h(x) = \ln(1 + |x|).$$

1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ et tout $k \in \mathbb{Z}$, on a $$\mathrm{E}(x) + \mathrm{E}(y) \leq \mathrm{E}(x+y) \leq \mathrm{E}(x)

**Exercice 4** 1) Trouver deux constantes $m$ et $M$ telles que :

1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par $$g(x) = x^2 + 3 - 2\ln x.$$

1. Énoncé du problème : On étudie la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $$f(x) = x + \frac{1 + \ln x}{x}.$$