📘 analyse

1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(U_n)_{n\geq 1}$ définie par $$U_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}.$$ Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,

1. **Problème 1 : Série entière** Soit la série entière $$\sum_{n\geq 1} \frac{x^n}{n(n+2)}$$ et $f$ sa somme.

1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$.

1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite suivante : $$\lim_{n \to +\infty} 7^n$$

1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty; 2]$ par $f(x) = \sqrt{2 - x}$.

1. **Énoncé du problème :** On étudie la fonction $g$ définie sur $]-1,+\infty[$ par $$g(x) = 2\ln(x+1) - \frac{x}{x+1}.$$

1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite de la fonction $$\lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 5}{4 - 2x} \tan(x)$$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour calculer une limite, o

1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite de la fonction $$\frac{x+1}{x^2-9}$$ lorsque $x$ tend vers $3^+$.\n\n2. **Formule et règles importantes :** Pour calculer une limite

1. Énoncé du problème : Résumer les notions clés des suites, limites, fonctions continues et dérivabilité en analyse, pour un cours d'ingénieur. 2. Suites : Une suite $(u_n)$ est u

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = \begin{cases} x(\ln x - 1)^2 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$

1. **Énoncé du problème 4** : Montrer les propriétés des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par les relations données.

1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la somme partielle $S_n = U_0 + U_1 + \cdots + U_{n-1}$ vérifie l'inégalité $$S_n \geq 4n - 2 + \left(\frac{

1. **Énoncé du problème :** On considère la suite définie par $U_0=2$ et $U_{n+1} = \frac{5U_n - 4}{U_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. **Énoncé du problème :** On considère la suite définie par $$\begin{cases} U_0 = 2 \\ U_{n+1} = \frac{5U_n - 4}{U_n} \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{cases}$$

1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [0,1]$ par

1. **Énoncé du problème :** Déterminer les coordonnées du minimum de la fonction $f$ dont la courbe est la parabole $P$.

1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ représentée par la courbe $P$ (une parabole) et la fonction $g$ représentée par la droite $D$. Nous devons :

1. **Énoncé du problème :** Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f(x) = \frac{1 - x}{\ln(x + 1)}$.

1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions :

1. Le problème est d'étudier la dérivabilité d'une fonction donnée. 2. La dérivabilité d'une fonction en un point signifie que la fonction possède une dérivée finie en ce point.